1、山东省滨州市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数是纯虚数，则实数m（）A. 2B. 1C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】本题先将化简为的代数形式，再根据纯虚数的定义建立方程求参数.【详解】解： 是纯虚数， ，解得：，故选：B.【点睛】考查复数的代数形式以及纯虚数的定义，是基础题.2. “幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位嘉祥县居民，他们的
2、幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.则这组数据的 80%分位数是（ ）A. 7.5B. 8C. 8.5D. 9【答案】B【解析】【分析】根据一组数据的分位数定义，求出即可.【详解】数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10共10个，且，所以分位数是第8个数，为8.故选：B.【点睛】本题考查了分位数的定义与计算问题，属于基础题.3. 设为平面，为两条不同的直线，则下列叙述正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】分析】利用空间线线、线面、面面间的关系对每一个选项逐一分析判断得解【详解】若，则与相交、平行或异面，故错误；若，则由直线与平面
3、垂直的判定定理知，故正确；若，则或，故错误；若，则，或，或与相交，故错误故选：【点睛】本题考查命题的真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养4. 已知在平行四边形中，点、分别是、的中点，如果，那么向量（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】作出图形，利用平面向量加法法则可求得结果.详解】如下图所示：点、分别是、的中点，.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的基底分解，考查计算能力，属于基础题.5. 已知圆锥的表面积为，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，根据其
4、表面积为，得到，再由它的侧面展开图是一个半圆，得到，联立求得半径和高，利用体积公式求解.【详解】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，因为其表面积为，所以，即，又因为它的侧面展开图是一个半圆，所以，即，所以，所以此圆锥的体积为.故选：A【点睛】本题主要考查圆锥的表面积和体积的计算以及侧面展开图问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6. 齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分
5、析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.【详解】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7. 如图所示，为了测量山高，选择和另一座山的山顶作为测量基点，从点测得点的仰角，点的仰角，从点测得已知山高，则山高（单位
6、：）为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可计算出.【详解】在中，为直角，则，在中，则，由正弦定理，可得，在中，.故选：A.【点睛】本题考查测量高度问题，考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.8. 如图，在平面直角坐标系中，原点为正八边形的中心，轴，若坐标轴上的点（异于点）满足（其中，且、），则满足以上条件的点的个数为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】分点在、轴进行分类讨论，可得出点、关于坐标轴对称，由此可得出点的个数.【详解】分以下两种情况讨论：若点在轴上，则、关于轴对称，由图可知，与、与、与、与关于轴对称，
7、此时，符合条件的点有个；若点在轴上，则、关于轴对称，由图可知，与、与、与、与关于轴对称，此时，符合条件的点有个.综上所述，满足题中条件的点的个数为.故选：D.【点睛】本题考查符合条件的点的个数的求解，考查了平面向量加法法则的应用，属于中等题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知复数z满足（1i）z2i，则下列关于复数z的结论正确的是（）A. B. 复数z的共轭复数为1iC. 复平面内表示复数z的点位于第二象限D. 复数z是方程x2+2x+20的一个根【答案】ABCD【解析】【分
8、析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1i）z2i，所以，所以，故正确；所以，故正确；由知，复数对应的点为，它在第二象限，故正确；因为，所以正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题.10. 某市教体局对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们的身高都处在，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表，则下面叙述正确的是（ ） A. 样本中女生人数多于男生人数B. 样本中层人数最多C.
9、 样本中层次男生人数为6人D. 样本中层次男生人数多于女生人数【答案】ABC【解析】【分析】根据直方图和饼图依次判断每个选项的正误得到答案.【详解】样本中女生人数为：，男生数为，正确；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；样本中层人数为：；故正确；样本中层次男生人数为：，正确；样本中层次男生人数为：，女生人数为，错误.故选：.【点睛】本题考查了统计图表，意在考查学生的计算能力和应用能力.11. 已知事件、，且，则下列结论正确的是（）A. 如果，那么，B. 如果与互斥，那么，C. 如果与相互独立，那么，D. 如果与相互独立，那么，【答案】BD【解析】【分析】化简
10、事件、，利用概率的基本性质计算出、的值，由此可判断出A、B选项的正误；利用独立事件的概率乘法公式可判断C、D选项的正误.【详解】对于A选项，若，则，则，A选项错误；对于B选项，如果与互斥，则为不可能事件，所以，B选项正确；对于C选项，如果与相互独立，则，C选项错误；对于D选项，如果与相互独立，则，D选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查互斥事件、独立事件的概率公式，考查计算能力，属于基础题.12. 如图，正方体ABCDABCD的棱长为1，则下列四个命题正确的是（）A. 若点M，N分别是线段的中点，则MNBCB 点C到平面的距离为C. 直线BC与平面所成的角等于D. 三棱柱的外接球的表面积为3【
11、答案】ACD【解析】【分析】本题逐一判断即可：A选项：先证明，再证明MNBC；B选项：先确定点到平面的距离是，再求即可；C选项：先确定线面所成的角是，再求值；D选项：先还原几何体确定外接球半径，再求表面积.【详解】解：A选项：在中，点M，N分别是线段的中点，所以，在正方体中，所以MNBC所以A选项正确；B选项：连接交于点，如图，所以平面，所以点C到平面ABCD的距离为，解得：，所以B选项错误；C选项：由B选项知直线BC与平面所成的角为，所以C选项正确；D选项：三棱柱的外接球就是正方体的外接球，所以半径为：，所以D选项正确.故选：ACD. 【点睛】本题考查了线线平行的判定、点到平面的距离、直线与
12、平面所成的角、外接球的表面积，是中档题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知，分别为三个内角，的对边，且，则_【答案】【解析】【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式化简求得的值进而求得【详解】解：，由于为三角形内角，可得故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用解题的关键是利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，属于基础题14. 已知数据、的平均数为，方差为，则数据、的平均数为_，方差为_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用平均数公式和方差公式可求得结果.【详解】由已知条件可得，所以，数据、的平均数为，方差为.故答案为：；.【
13、点睛】本题考查平均数与方差的应用，考查计算能力，属于中等题.15. 已知，则与的夹角为_【答案】【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算律可求得的值，利用平面向量数量积的定义可求得与的夹角的余弦值，由此可求得与的夹角.【详解】，设与的夹角为，则，所以，.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算律与定义求向量的夹角，考查计算能力，属于中等题.16. 如图，在三棱锥中，且，则二面角的余弦值是_【答案】【解析】【分析】取的中点，连接、，证明出，可得出面角的平面角为，计算出、，利用余弦定理求得，由此可得出二面角的余弦值.【详解】取的中点，连接、，如下图所示：，为的中点，则，且，同理可得，且
14、，所以，二面角的平面角为，由余弦定理得，因此，二面角的余弦值为.故答案为：.【点睛】本题考查二面角余弦值的计算，考查二面角的定义，考查计算能力，属于中等题.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知向量.（1）若向量，且，求的坐标；（2）若向量与互相垂直，求实数的值.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1） 因为，所以可以设求出坐标，根据模长，可以得到参数方程.（2） 由于已知条件 可以计算出与坐标（含有参数）而两向量垂直，可以得到关于的方程，完成本题.【详解】（1）法一:设，则，所以解得所以或法二:设，因为，所以，因为，所以解得或，所以或（2）
15、因为向量与互相垂直所以，即而，所以，因此，解得【点睛】考查了向量的线性表示，引入参数，只要我们能建立起引入参数的方程，则就能计算出所求参数值，从而完成本题.18. 已知、分别为三个内角、的对边，且，（1）求及的面积；（2）若为边上一点，且，_，求的正弦值从，这两个条件中任选一个，补充在上面问题中，并作答【答案】（1），；（2）选，；选，.【解析】【分析】（1）利用余弦定理可得出关于的二次方程，可解出的值，进而可求得的面积；（2）选，在中，利用正弦定理可求得的值，再由可得出，进而可求得的正弦值；选，利用正弦定理求得的值，由同角三角函数的基本关系可求得，再利用两角和的正弦公式可求得的值.【详解】（
16、1）由余弦定理得，整理得，解得，；（2）选，如下图所示：在中，由正弦定理得，可得，在中，则，所以，；选，在中，由正弦定理得，可得，由于为锐角，则，因此，.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形以及三角形面积的计算，同时也考查了三角形内角正弦值的计算，考查计算能力，属于中等题.19. 在四面体中，点E，F，M分别是AB，BC，CD的中点，且BDAC2，EM1（1）求证：平面ACD；（2）求异面直线AC与BD所成的角【答案】(1)证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）由点E，F分别是AB，BC的中点，得，则平面ACD易证；（2）根据平行，异面直线AC与BD所成的角转化为和所成的角，再在中求和所成
17、的角即可.【详解】证明：点E，F分别是AB，BC的中点，所以是的中位线，所以，平面ACD，平面ACD，所以平面ACD；（2）解：F，M分别是BC，CD的中点，所以是的中位线，所以，所以异面直线AC与BD所成的角就是和所成的角，又因为EM1，所以为正三角形，和所成的角为故异面直线AC与BD所成的角为.【点睛】考查线面平行的证明以及异面直线所成角的求法，中档题.20. 溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确
18、的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响（1）分别求甲队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为3分与1分的概率（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，由题意得事件与事件
19、相互独立，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率【详解】解：（1）记“甲队总得分为3分”为事件，记“甲队总得分为1分”为事件，甲队得3分，即三人都回答正确，其概率为，甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余两人都答错，其概率为甲队总得分为3分与1分的概率分别为，（2）记“甲队得分为2分”为事件，记“乙队得分为1分”为事件，事件即甲队三人中有2人答对，其余1人答错，则，事件即乙队3人中只有1人答对，其余2人答错，则，由题意得事件与事件相互独立，甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率：【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考
20、查运算求解能力，属于中档题21. 如图，在三棱锥中，为线段的中点，为线段上一点（1）求证：平面平面；（2）当平面时，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）证明出平面，可得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，可证明出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）利用线面平行的性质定理可推导出点为的中点，由（1）可知，平面，计算出的面积，进而可得出，进而可得解.【详解】（1），平面，平面，为线段的中点，则，平面，平面，平面平面；（2）平面，平面，平面平面，为的中点，则为的中点，由（1）可知，平面，为的中点，则，.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了
21、利用等体积法计算三棱锥的体积，考查推理能力与计算能力，属于中等题.22. 2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：160，180），180，200），200，
22、220），220，240），240，260），260，280），280，300，画出频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在220，240）和260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率【答案】（1）；（2）（i）（ii）（3）.【
23、解析】【分析】（1）根据7组频率和为1列方程可解得结果；（2）（i）根据前三组频率和为，前四组频率和为可知中位数在第四组，设中位数为，根据即可解得结果；（ii）利用各组的频率乘以各组的中点值，再相加即可得解；（3）根据分层抽样可得从成绩在220，240）的组中应抽取人，从成绩在260，280）的组中应抽取人，再用列举法以及古典概型的概率公式可得解.【详解】（1）由，得；（2）（i）因为，所以中位数在，设中位数为，所以，解得，所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为；（ii）这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为（3）物理、化学、生物三科总分成绩在220，240）和260，280）的两组中的人数分别为：人，人，根据分层随机抽样可知，从成绩在220，240）的组中应抽取人，记为，从成绩在260，280）的组中应抽取人，记为，从这7名学生中随机抽取2名学生的所有基本事件为：，共有种，其中这2名学生来自不同组的共有种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.【点睛】本题考查了利用直方图求中位数、平均数，考查了利用直方图求参数，考查了分层抽样，考查了古典概型的概率公式，属于中档题.
