1、章末综合测评(一)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.将曲线ysin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为()A.y3sin xB.y3sin 2xC.y3sinxD.ysin 2x【解析】由伸缩变换,得x,y.代入ysin 2x,有sin X,即Y3sin X.变换后的曲线方程为y3sin x.【答案】A2.点P的直角坐标为(1,),则点P的极坐标为()A.(2,)B.(2,)C.(2,)D.(2,)【解析】因为点P(1,)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为.【答案】C3
2、.在极坐标系中,点(,)与(,)的位置关系为()A.关于极轴所在直线对称B.关于极点对称C.重合D.关于直线(R)对称【解析】取1,可知关于极轴所在直线对称.【答案】A4.极坐标方程1且表示()A.点B.射线C.直线D.圆【答案】A5.有相距1 400 m的A、B两个观察站,在A站听到爆炸声的时间比在B站听到时间早4 s.已知当时声音速度为340 m/s,则爆炸点所在的曲线为()A.双曲线B.直线C.椭圆D.抛物线【解析】设爆炸点为P,则|PB|PA|43400,0)可写为_.【解析】由题意知2,.【答案】(2,)14.极坐标系中,0,过点(1,0)倾斜角为的射线的极坐标方程为_.【解析】设(
3、,)是射线上任意一点,则cos 1,且0.【答案】cos 1,015.在极坐标系中,直线l的方程sin 3,则点(2,)到直线l的距离为_.【解析】由sin 3,得y3.又点(2,)在直角坐标系中为(,1),故点(2,)到l距离为2.【答案】216.已知圆的极坐标方程为22(cos sin )5,则此圆在直线0上截得的弦长为_.【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程,得x2y22x2y50,令y0,得x22x50.|x1x2|2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在同一平面直角坐标系中,经过伸缩变换后,曲线C变为曲线
4、(X5)2(Y6)21,求曲线C的方程,并判断其形状.【解】将代入(X5)2(Y6)21,得(2x5)2(2y6)21,即(x)2(y3)2,故曲线C是以(,3)为圆心,半径为的圆.18.(本小题满分12分)在极坐标系中,直线l的方程为sin()2,求极点在直线l上的射影的极坐标.【导学号:62790008】【解】把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程得xy40,过极点且与l垂直的直线方程为yx.由得射影的直角坐标为(1,),化为极坐标为(2,).极点在直线l上的射影的极坐标为(2,).19.(本小题满分12分)在极坐标系中,求由三条直线0,cos sin 1围成图形的面积.【解】极坐标方程为0
5、,cos sin 1对应的直角坐标方程分别为y0,yx,xy1.由得交点(,).故所围成三角形的面积为S1.20.(本小题满分12分)(1)在极坐标系中,求以点(1,1)为圆心,半径为1的圆C的方程;(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D,求圆D的方程.【解】(1)设M(,)为圆上任意一点,如图,圆C过极点O,COM1,作CKOM于K,则|OM|2|OK|2cos(1),圆C的极坐标方程为2cos(1).(2)将圆C:2cos(1)按逆时针方向旋转得到圆D:2cos(1),即2sin(1).21.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数,t0),其中0.在以O为极点,x
6、轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:2sin ,C3:2cos .(1)求C2与C3交点的直角坐标;(2)若C1与C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求|AB|的最大值.【解】(1)曲线C2的直角坐标方程为x2y22y0,曲线C3的直角坐标方程为x2y22x0.联立解得或所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.(2)曲线C1的极坐标方程为(R,0),其中0.因此A的极坐标为(2sin ,),B的极坐标为(2cos ,).所以|AB|2sin 2cos |4.当时,|AB|取得最大值,最大值为4.22.(本小题满分12分)如图1,点A在直线x4上移动,OPA为等腰直角三角形,OPA的顶角为OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状.图1【解】取O为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,则直线x4的极坐标方程为cos 4,设A(0,0),P(,),点A在直线cos 4上,0cos 04,OPA为等腰直角三角形,且OPA,而|OP|,|OA|0,POA,0,且0,把代入,得点P的轨迹的极坐标方程为cos()4.由cos()4得(cos sin )4,点P的轨迹的直角坐标方程为xy4,是过点(4,0)且倾斜角为的直线.