1、数 学 试 题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M=0，1，2，N=xx23x+20，则MN=A1B2C0，1D1，22已知复数z满足(1+i)z=，i为虚数单位，则z=A1iB1+iCD3若向量a，b满足，(a+b)a，(2a+b)b，则A1B2CD4已知抛物线E：y2=2px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，OF为菱形OBFC的一条对角线，另一条对角线BC的长为2，且点B，C在抛物线E上，则p=A1BC2D5已知Sn是等差数列an的前n项和，则“Snnan对n2恒成立”是“a3a4”的A充分而不必要条件B必要而不充
2、分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6函数的图象可能为7已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0时，f(x)=x2+2x，若实数m满足f(log2m)3，则m的取值范围是A(0，2BC(0，8D8如图，在三棱锥ABCD中，AB=AC=BD=CD=3，AD=BC=2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是ABCD二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分9下列说法正确的是A某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四
3、个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查。已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为C已知变量x与y正相关，且由观测数据算得=3，=35，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是=0.4x+2.3D从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件10已知定义在()上的函数f（x），f(x)是f(x)的导函数，且恒有cosxf(x)+sinxf(x)0成立，则ABCD11设函数g(x)=sinx(0)向左平移个单位长度得
4、到函数f(x)，已知f(x)在0，2上有且只有5个零点，则下列结论正确的是Af(x)的图象关于直线对称Bf(x)在(0，2)上有且只有3个极值大点，f(x)在(0，2)上有且只有2个极小值点Cf(x)在(0，2)上单调递增D的取值范围是)12如图，在矩形ABCD中，M为BC的中点，将AMB沿直线AM翻折成AB1M，连接B1D，N为B1D的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的是A存在某个位置，使得CNAB1BCN的长是定值C若AB=BM，则AMB1DD若AB=BM=1，当三棱锥B1AMD的体积最大时，三棱锥B1AMD的外接球的表面积是4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13某药厂选取
5、若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为12，13)，13，14)，14，15)，15，16)，16，17，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，则第三组的人数为 14的展开式中x3的系数为 15已知函数，则f(2020)= 16已知直线l：3x+4y+m=0，圆C：x2+y24x+2=0，则圆C的半径r= ；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB=90，则实数m的取值范围是 (本题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字
6、说明、证明过程或演算步骤17(10分)请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答b2+c2=52ABC的面积为在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bc=2，cosA=， (1)求a；(2)求的值18(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PA平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点(1)求证：AE平面PBC；(2)试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为3019(12分)已知等差数列an的公差d0，a2=7，且a1，a6，5a3成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足，且b1=，求
7、数列bn的前n项和Tn20(12分)某工厂为了提高生产效率，对生产设备进行了技术改造，为了对比技术改造后的效果，采集了技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，整理如下：改造前：19，31，22，26，34，15，22，25，40，35，18，16，28，23，34，15，26，20，24，21改造后：32，29，41，18，26，33，42，34，37，39，33，22，42，35，43，27，41，37，38，36(1)完成下面的列联表，并判断能否有99的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异?超过30不超过30改造前改造后(2)工厂的生产设备的运行需要进行维护，工
8、厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费，保障维护费两种对生产设备设定维护周期为T天(即从开工运行到第kT天，kN*)进行维护生产设备在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立在一个维护周期内，若生产设备能连续运行，则只产生一次正常维护费，而不会产生保障维护费；若生产设备不能连续运行，则除产生一次正常维护费外，还产生保障维护费经测算，正常维护费为0.5万元次；保障维护费第一次为0.2万元周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元现制定生产设备一个生产周期(以120天计)内的维护方案：T=30，k=1，2，3，4以生产设备在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求
9、一个生产周期内生产维护费的分布列及均值附：P(K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.82821(12分)已知椭圆C1：的左、右顶点分别是双曲线C2：的左、右焦点，且C1与C2相交于点()(1)求椭圆C1的标准方程；(2)设直线l：与椭圆C1交于A，B两点，以线段AB为直径的圆是否恒过定点?若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由22(12分)已知函数，f(x)是f(x)的导函数(1)证明：当x0时，f(x)0；(2)证明：在()上有且只有3个零点数学参考答案及评分标准 题号12345678答案DADBCDAC二、多项选择题：题号9101112答案ABCCDC
10、DBD三、填空题：131814515116四、解答题：17（10分）解：方案一：选择条件：（1）bc=242分由解得或（舍去）a=84分（2） 6分8分 10分方案二：选择条件：（1）由解得或（舍去）2分a=84分（2）同方案一方案三：选择条件：（1）bc=242分由解得或（舍）a=84分（2）同方案一18（12分）解：（1）PA平面ABCD，BC平面ABCDPABCABCD为正方形ABBC2分又 PAAB=A，PA，AB平面PABBC平面PABAE平面PABAEBC4分PA=AB，E为线段PB的中点AEPB又 PBBC=B，PB，BC平面PBCAE平面PBC6分（2）以A为坐标原点，建立如图
11、所示的空间直角坐标系Axyz，设正方形ABCD的边长为2，则A（0,0,0），B（2,0,0），C（2,2,0），D（0,2,0）P（0,0,2）E（1,0,1），8分设F（2，0）（02），设平面AEF的一个法向量为n（x1，y1，z1）则令y1=2，则10分设平面PCD的一个法向量为m=（x2，y2，z2）则令y2=1，则m=（0,1,1）平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30，解得=1，当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为3012分19（12分）解：（1）a1,a6,5a3成等比数列整理得或2分当时，由解得，满足题意，4分当时，由解得，不合题意，6分（2）由（1
12、）知，当n2时， ，当n2时， 8分又当.10分12分20.（12分）解：（1）2分有99%的把握认为技术改造前后的连续正常运行时间有差异.4分（2）由题知，生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为.设一个生产周期内需保障维护的次数为，则；一个生产周期内的正常维护费为万元，保障维护费为万元.一个生产周期内需保障维护次时的生产维护费为万元.设一个生产周期内的一产维护费为X，则X的所有可能取值为2，2.2，2.6，3.2，48分10分所以，X的分布列为 一个生产周期内生产维护费的均值为2.275万元12分21.（12分）解：（1）将解得 2分将解得
13、椭圆的标准方程为4分（2）设，由整理得，6分法一：由对称性可知，以AB为直径的圆若恒过定点，是定点必在y轴上.8分设定点为，则 10分 解得以线段AB为直径的圆恒过定点.12分法二：设定点为，则8分 10分 解得 以线段AB为直径的圆恒过定点.12分22.（12分）证明：（1） 令， 当，2分 上单调递增， ， ， 上单调递增， 又， .4分（2），令，令，则，是奇函数，且.6分令，当，上单调递增.令上单调递增，在上单调递减.由（1）知：当.8分令.当单调递增.当单调递减.又.恒成立.即恒成立.时，.恒成立.10分当.在上为增函数，且.上有且只有一个零点，设为，即.是奇函数.，上的零点为，上的零点为，上有且只有3个零点.12分
