1、单元小练7数列、推理与证明【单元小练】单元小练7数列、推理与证明一、 填空题 1. 若数列an的前n项和Sn=n2，则a8=. 2. 用反证法证明命题“如果m，nN，mn可被3整除，那么m，n中至少有一个能被3整除”时，假设的内容应为. 3. 在等差数列an中，若a2+a9=5，则3a5+a7=. 4. 设Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和，若a1=2a8-3a4，则=. 5. 设数列an是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4=1，S3=7，那么S5=. 6. 已知=2，=3，=4，.若=6(a，t均为正实数)，则t+a=. 7. 在数列an中，若a1=4，=f(an)，
2、依照下表，则a2 015=.x12345f(x)54312 8. 已知数列an为等差数列，公差为d，若-1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn0).由a2a4=1，得=1，所以a3=1.由S3=7，知a3+=7，即6q2-q-1=0，解得q=，所以a1=4，所以S5=.6. 41【解析】观察下列等式：=2，=3，=4，照此规律，第5个等式中，a=6，t=a2-1=35，所以a+t=41.7. 5【解析】由题意知a2=f(a1)=f(4) =1，a3=f(a2)=f(1) =5，a4=f(a3)=f(5)=2，a5=f(a4)=f(2) =4，a6=f(a5)=f(4) =1，则数列an的周期
3、为4，故a2 015=a4503+3=a3=5.8. 20【解析】根据Sn有最大值知da11.由0a11，且a11-a10，即a10+a110，S20=10(a10+a11)0，则使Sn0的n的最小值为20.9. fn(x)=【解析】求导数后分母都是ex，分子为(-1)n(x-n)，所以fn(x)=.10. -100【解析】因为f(n)=n2cos(n)，所以a1+a2+a3+a100=f(1) +f(2) +f(100)+f(2) +f(101)，f(1) +f(2) +f(100)=-12+22-32+42-992+1002=(22-12)+(42-32)+(1002-992)=1+2+3
4、+4+99+100=5 050，f(2) +f(101)=22-32+42-992+1002-1012=(22-32)+(42-52)+(1002-1012)=-(2+3+4+5+100+101)=-=-5 150，所以a1+a2+a3+a100=f(1) +f(2) +f(100)+f(2) +f(101)=-5 150+5 050=-100.11. f(0)+f(1) =+=+=+=，同理可得f(-1)+f(2) =，f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明：f(x)+f(1-x)=+=+=+=.12. (1) 由已知得4S1=a1+1，即4a1=a1+1，所以a1=
5、.又因为4S2=a2+1，即4(a1+a2)=a2+1，所以a2=-.(2) 当n2时，an=Sn-Sn-1=(an+1)-(an-1+1)，即3an=-an-1.由题意知数列各项不为零，所以=-对n2恒成立，所以an是首项为、公比为-的等比数列，所以an=(-1)n-13-n，所以log3|an|=log33-n=-n，即bn=-n.13. (1) f1(x)=x2-4x+4=(x-2)2，有一个零点2，即a1=1.由f2(x)=0可得f1(x)=2，则x=2+或x=2-，即y=f2(x)有两个零点，所以a2=2.由f3(x)=0可得f2(x)=2，则(x-2)2=2-或(x-2)2=2+，即y=f3(x)有四个零点，所以a3=4.由此可以归纳出an=2n-1.(2) bn=log2anlog2an+1log2an+2=(n-1)n(n+1)=n3-n.令n=1，则b1=0，T1=0；令n=2，则b2=6，而T2=b1+b2=6，即=6，解得m=4.下面用数学归纳法证明Tn=.当n=1时，由前面分析易知结论成立；假设当n=k(kN*)时结论成立，即Tk=，则当n=k+1时，Tk+1=Tk+bk+1=+(k+1)3-(k+1)=，即当n=k+1时，结论也成立.综上，对于任意正整数n，都有Tn=.
