1、文科数学试卷一选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 已知复数(i是虚数单位)，则（ ）A. B. C. D. C分析：先化简复数，再求解其共轭复数即可.解答：，故选:C.2. 已知集合，则集合（ ）A. B. C. D. D分析：先利用余弦函数的性质化简集合B，再利用交集运算求解.解答：因为集合，所以，故选：D.3. 某单位有管理人员业务人员后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员业务人员后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为，抽取的后勤
2、人员比业务人员少20人，则m的值为（ ）A. 170B. 180C. 150D. 160A分析：根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.解答：若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为14，所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，所以，解得.故选：A.4. 已知，则（ ）A. B. C. D. B分析：利用指数函数和对数函数的单调性判断.解答：因为，所以，故选：B.5. 已知、是定义在上的偶函数和奇函数，若，则（ ）A. B. C. D. D分析：根据题意可得出关于、的方程组，进而可解得的值.解答：，所以，因为、是定义在上的
3、偶函数和奇函数，由可得，则有，解得.故选：D.6. 命题p：存在实数a，使得对任意实数x，恒成立；命题q：，为奇函数，则下列命题是真命题的是（ ）A. B. C. D. C分析：对于命题p，取可判断真假；对于命题q，由，可判断真假，从而逐项排除可得答案.解答：对于命题p，取，对任意实数x，成立，因此p真命题；对于命题q，函数的定义域是，且，为奇函数，因此q真命题，所以为假命题，为假命题，所以为假命题，故 A错误；为假命题，故B错误；为真命题，故C正确；为假命题，故D错误.故选：C7. 方程有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则的值为（ ）A. B. C. D. C分析：由题意设4个
4、根组成的等差数列为，根据韦达定理可知，进而可得，求出4个根即可求解.解答：设4个根组成的等差数列为，则，.又，故选：C8. 已知函数(，)的图象上相邻两个最值点间的距离为3，且过点，则要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）A. 向右平移1个单位B. 向左平移1个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位A分析：由函数过点，可得，由函数的最值和最值间的距离可得，进而可得，求出函数解析式，可得结果.解答：由题意，又，所以.易知的最大值为2，最小值为，则相邻两个最值点间的距离为，所以.所以，故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移1个单位 .故选:A9. “干支纪年法”是中国历法上自古以来使
5、用的纪年方法，甲乙丙丁戊己庚辛壬癸被称为“十天干”，子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子乙丑丙寅癸酉甲戌己亥丙子癸未甲申乙酉丙戌癸巳，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（ ）A. 庚子年B. 辛丑年C. 己亥年D. 戊戌年B分析：根据“干支纪年法”的规则判断解答：天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“
6、天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.10. 已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，且平面，则球O的表面积为（ ）A. B. C. D. A分析：根据平面BCD，得到，再由，得到，则三棱锥截取于一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.解答：因为平面BCD，所以，在中，.如图所示：三棱锥的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则，解得，所以球O的表面积为，故选：A.11. 已知函数，当且时，方程的根的个数是（ ）A. 7B. 6C. 9D. 8D分析：设，求方程的根的个数，即求函数与的交点个数，利用函数均为奇函数求区间交点数
7、即可.解答：设，与均为奇函数，只需求与在上交点个数.，所以在和上单调递增，在和上单调递减，且；又单调递减且，在上有4个交点，故在上也有4个交点，故方程在且上有8个根，故选：D.点拨：关键点点睛：将函数拆分成两个函数，研究它们在指定区间上的交点个数.12. 已知双曲线C：，若直线l：与双曲线C交于不同的两点M，N，且M，N都在以为圆心的圆上，则m的取值范围是（ ）A. B. C. D. A分析：由直线与双曲线方程联立，消去x得到，根据相交两点，则，设MN的中点为，根据M，N都在以为圆心的圆上，即，得到k，m的关系，再结合求解.解答：设，由，则，由根与系数关系得，设MN的中点为，则，解得或，故选：
8、A.二填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 若实数x，y满足则不等式组表示的平面区域的面积为_.4分析：作出不等式组对应的平面区域，求出交点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可解答：可行域如图所示的阴影部分，A（2，2），B（2，2），故故答案为：414. 已知点O为坐标原点，抛物线与过焦点的直线交于A，B两点，则等于_.分析：由题知抛物线的焦点，进而分直线斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.解答：设，当直线斜率不存在时，所以.当直线斜率存在时，设方程为，与抛物线联立方程得：所以，.故答案为：.点拨：本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档
9、题.本题解题的关键在于根据已知条件分直线斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.15. 在半径为a的圆上有A，B两点，且，在该圆上任取一点P，则使为锐角三角形的概率为_.分析：设圆心为O，连接AO，BO并延长交圆于点C，D，根据圆的性质，得到点P在点C与点D之间的劣弧上时，为锐角三角形，即可求解.解答：如图所示，设圆心为O，连接AO并延长交圆于点C，连接BO并延长交圆于点D，连接BC，AD，CD，因为AC，BD为直径，所以，当点P在点C或点D处时，为直角三角形，当点P在点C与点D之间的劣弧上时，为锐角三角形，故使为锐角三角形的概率为.故答案为：.16.
10、 偶函数的定义域是，其导函数是.当时，则关于x的不等式的解集为_.分析：根据时，构造函数，用导数法研究其单调性，再根据是上的偶函数，得到为偶函数，然后将原不等式转化为求解.解答：令，则，因为当时，所有当时，在上单调递减，因为，为偶函数.当时，则等价于，即.因为为偶函数，所以，又因为，所以所求解集为.故答案为：点拨：思路点睛：先由时，构造函数，研究其单调性和奇偶性，再利用函数单调性的定义解不等式.三解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设.（1）求角B；（2）若，且的面积等于，求的值.（1）；（2）.分析：（1）利用正弦定理的边
11、角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得，再利用余弦定理可得，代入即可求解.解答：解：（1）因为，所以.，.（2）因为，.又，.18. 支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：每周使用支付宝次数123456及以上40岁及以下人数334873040岁以上人数4566420合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以
12、下人数40岁以上人数合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，在该市所有“支付宝达人”中，采用分层抽样的方法抽取5名用户，再从这5人中随机抽取2人，赠送一件礼品，求选出的这2人中至少有1名40岁以上用户的概率.附：，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）.分析：（1）由数据完成列联表，代入公式即可得出结果.（2）5名“支付宝达人”中，40岁及以下的人数为3人，40岁以上
13、的人数为2人，列举所有任选2人的结果，由古典概型公式即可得出结果.解答：（1）由题中表格数据可得列联表如下：不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数10455540岁以上人数153045合计2575100将列表中的数据代入公式计算得：的观测值，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.（2）设事件M为“选出的这2人中至少有1名40岁以上用户”，则事件为“选出的这2人中都是40岁及以下用户”，由题意，所抽取的5名“支付宝达人”中，40岁及以下的人数为3人，分别设为a，b，c，40岁以上的人数为2人，分别设为x，y.则从5人中选出2人的所有可能结果为
14、：，共10种，其中，选出的这2人中都是40岁及以下用户的结果为，共3种，所以，所以.19. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，且，平面，.（1）求证：平面平面；（2）求点C到平面的距离.（1）证明见解析；（2）.分析：（1）在直角梯形ABCD中，过D作，根据，利用勾股定理得到，再由平面ABCD，得到，然后利用线面垂直的判定定理证得平面PCD即可.（2）设点C到平面PAB的距离为h，分别确定PA，PB，由，利用等体积法求解.解答：（1）如图， 在直角梯形ABCD中，过D作，交BC于F，因为，.又，.又因为平面ABCD，且，平面PCD.又平面PBD，平面平面PCD.（2）设点C到平面PAB的距离为
15、h，在中，在中，由，得：，即点C到平面PAB的距离为.点拨：方法点睛：求点到平面的距离的常用方法：（1）直接法；（2）转化为所在的直线到平面的距离求解；（3）等体积法；（4）向量法.20. 已知抛物线上一点到焦点距离是4.（1）求抛物线的方程；（2）过点任作直线交抛物线于两点，交直线于点，是的中点，求的值.（1）；（2）.分析：（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，根据对称性只考虑斜率为正的情况，设点在准线上的投影分别为，所以，即，设直线的方程为，设，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再在中，令得点坐标，再由，化简整理可得的值，进而得到结论.解答：解：
16、（1）因为，且点在抛物线上，所以.由得，所以抛物线的方程为.（2）由题意知，直线的斜率存在，且不为零，设点在准线上的投影分别为，所以，.设直线的方程为，代入，得.设，则，.在中，令，得，即.所以，即，所以，即，所以.点拨：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数.（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；（2）若，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.（1）；（2）.分析
17、：（1）由，得到，求导，再利用极值的定义，由函数的极小值为5求解.（2）由，得到，求导，分，讨论求得最大值求解.解答：（1）函数的定义域为.当时，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数极小值为，.（2）当时，则.当，即时，所以在上单调递增，所以；当，即时，设的两根分别为，则，所以在区间上，所以在上单调递增，所以.综上，当时，在区间上的最大值为，所以实数a的取值范围是.点拨：方法点睛：不等式有解问题的解法：若在区间D上有最值，则；若能分离常数，即将问题转化为：（或），则；.22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t
18、为参数).（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求的中点M到直线l的距离的最大值.（1）：，：；（2）.分析：（1）由极坐标与普通方程的转化即可得出，消参可得.（2）设，利用点到直线的距离公式可得结果.解答：（1）曲线C的极坐标方程为，所以曲线C的直角坐标方程为，即.将直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为.（2）设，则.所以点M到直线l的距离，其中，所以.23. 已知函数.（1）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围；（2）若，求证：.（1）；（2）证明见解析.分析：（1）由题意可得恒成立，即或恒成立，只需或即可.（2）只需证，由，利用绝对值三角不等式即可证明.解答：（1）解：当时，所以恒成立，即，或，或恒成立，所以或.又，或，所以实数a的取值范围是.（2）证明：要证，只需证.由，得，则，所以.
