1、数学归纳法及其应用举例教材透析学生情况教学目标学习方法教学过程板书设计教材透析数学推理中，常用的方法是演绎法和归纳法，归纳推理又可以分为完全归纳法和不完全归纳法。完全归纳法所得出的结论是可靠的，因为它考察了问题涉及的所有对象；不完全归纳法得出的结论不一定可靠，因为它只考察了某件事情的部分对象。数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能对所有自然数进行一一验证，所以用完全归纳法是不可能的。由于只对部分自然数验证得到结论是不一定可靠，因此就需要研究一种新的方法数学归纳法。数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法。在证明一些与正整数有关的数学命题时，数学归纳法往往是非常
2、有用的研究工具，它通过有限个步骤的推理，证明正整数取无限多个的情形。学生情况 本班学生是潜能班学生，基础知识和基础技能很大程度上需要老师随时随地指导，学习的兴趣和学习劲头有待加强，学习气氛不够浓厚。而且大部分学生来自农村，家庭不富裕，很难和其它尖子生，富裕生比较，要想不受这种情况影响，只有踏踏实实地学习。教学目标 知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。知识目标（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。（2）初步理解数学
3、归纳法原理。（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。学习方法 本课采用交往式的学习方法。交往式学习法的特点是：在教师的组织启发下，师生之间、学生之间共同探讨，平等交流;既强调独立思考，又提倡团结合作;既重视教师的组织引导，又强调学生的主体性、主动性、平等性、开放性、合作性。这种教学方法的优点是学生心态开放，主体性和主动性凸现，独立的个性得到张扬，因而创造性得到解放。第一阶段:输入阶段创设问题情境，启动学生思维(1)不完全归纳法引例明朝刘元卿编的应谐录中有一个笑话：财主的儿子学写字这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是
4、五横”的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错误的(2)完全归纳法对比引例有一位师傅想考考他的两个徒弟，看谁更聪明一些他给每人一筐花生去剥皮，看看每一粒花生仁是不是都有粉衣包着，看谁先给出答案大徒弟费了很大劲将花生全部剥完了；二徒弟只拣了几个饱满的，几个干瘪的，几个熟好的，几个没熟的，几个三仁的，几个一仁、两仁的，总共不过一把花生显然，二徒弟比大徒弟聪明第一阶段:输入阶段回顾数学旧知，追溯归纳意识(1)不完全归纳法实例给出等差数列前四项,写出该数列的通项公式(2)完全归纳法实例证明圆周角定理分圆心在圆周角内部、外部及一边上三种情况第一阶段:输入阶段借助数学史料,促使学生思辨
5、问题1 已知=(nN*),(1)分别求,.(2)由此你能得到一个什么结论?这个结论正确吗?问题2 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他曾认为，当nN时，一定都是质数，这是他对n0，1，2，3，4作了验证后得到的后来，18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了4 294 967 2976 700 417641，从而否定了费马的推测没想到当n5这一结论便不成立问题3 ,当nN时，是否都为质数？验证：f（0）41，f（1）43，f（2）47，f（3）53，f（4）61，f（5）71，f（6）83，f（7）97，f（8）113，f（9）131，f（10）151，f（39）1 60
6、1 但是 f（40）1 681，是合数第二阶段:新旧知识相互作用阶段类比数学问题,激起思维浪花(1)当n1时等式成立；(2)假设当nk时等式成立,即ak=a1+(k1)d,则ak+1=ak+d=a1+(k+1)-1d,即 nk1时等式也成立于是,我们可以下结论：等差数列的通项公式an=a1+(n1)d 对任何nN*都成立类比多米诺骨牌过程,证明等差数列通项公式.第二阶段:新旧知识相互作用阶段引导学生概括,形成科学方法证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：(2)假设当nk(kN*,kn0)时结论正确,证明当nk1时结论也正确完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都正确这种证明方
7、法叫做数学归纳法(1)证明当n取第一个值n=n0 时结论正确;第三阶段:操作阶段蕴含猜想证明,培养研究意识例题 在数列中,1,(n),先计算，的值，再推测通项的公式,最后证明你的结论第三阶段:操作阶段基础反馈练习,巩固方法应用（1）用数学归纳法证明：135（2n1）n2.（2）（第95页练习2）首项是a1,公比是 q 的等比数列的通项公式是 an=a1qn1.第三阶段:操作阶段师生共同小结,完成概括提升(1)本节课的中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，它可以分为完全归纳法和不完全归纳法两种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不一定具有可靠
8、性，数学归纳法属于完全归纳法；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的使用要点可概括为：两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、类比思想、分类思想、归纳思想、辩证唯物主义思想第三阶段:操作阶段布置课后作业,巩固延伸铺垫(1)课本第95页练习第1,2题；第96页习题2.1第2题(2)(辨析与思考)用数学归纳法证明 1+2+22+23+2n=2n1(n N*)时,其中第二步采用下面的证法：设nk时等式成立,即1+2+22+23+2k1=2k1,则当nk1时,即nk1时等式也成立2.1 2.1 数学归纳法及其应用举例数学归纳法及其应用举例问题1 例题(猜想,证明过程的板书)问题2问题3 练习1 练习2数学归纳法定义(练习请两位同学上黑板板演)证明步骤:(1)(2)谢谢大家！多多指导！
