1、第十章 平面解析几何 第八节 圆锥曲线的综合问题最新考纲考情索引核心素养1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法2.理解数形结合的思想3.了解圆锥曲线的简单应用.2018全国卷，T20 2018全国卷，T202018全国卷，T20 2017全国卷，T202016全国卷，T201.直观想象2.数学运算1直线与圆锥曲线的位置关系将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)当a0，可考虑一元二次方程的判别式，有：0直线与圆锥曲线_；0直线与圆锥曲线_；0)焦点的弦中最短弦的弦长是2p.()(4)若抛物线上存在关于直线l对称
2、的两点，则l与抛物线有两个交点()解析：(1)椭圆是个封闭图形，直线与椭圆只有一个公共点时，一定相切(2)当直线l与渐近线平行时，直线与双曲线只有一个交点，但不相切(3)可转化为到准线的距离来证明(3)正确(4)当直线l为对称轴时，l与抛物线有一个交点答案：(1)(2)(3)(4)2教材衍化(1)(人A选修11P62例5改编)过点(0，1)作直线，使它与抛物线y24x仅有一个公共点，这样的直线有()A1条 B2条 C3条D4条(2)(人A选修11P61例4改编)直线l经过抛物线y24x的焦点F，与抛物线相交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为_解析：(1)结合图形分析可知，满足题意的直
3、线共有3条：其中一条过(0，1)且平行于x轴的直线，两条过(0，1)且与抛物线相切的直线(2)当直线l的斜率不存在时，显然不成立设直线l的斜率为k，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，因为直线l过焦点F(1，0)，故直线l的方程为yk(x1)，(k0)由yk（x1），y24x，得k2(x1)24x，即k2x2(2k24)xk20，则（2k24）24k40，x1x22k24k22 4k2，x1x21，所以|AB|x1x2p2 4k228.所以k21，故k1.所以直线l的方程为y(x1)，即xy10或xy10.答案：(1)C(2)xy10或xy103典题体验(1)(2019莆田模拟)
4、已知O为坐标原点，F为抛物线C：y28x的焦点，过F作直线l与C交于A，B两点若|AB|10，则OAB的重心的横坐标为()A.43B2 C.83D3(2)(2019青岛模拟)已知点A是抛物线C：x22py(p0)的对称轴与准线的交点，过点A作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，若APQ的面积为4，则p的值为()A.12B1 C.32 D2(3)(2019赣州模拟)在直角坐标系xOy中，有一定点M(1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x22py(p0)的焦点，则该抛物线的准线方程是_解析：(1)由题意知抛物线的焦点F的坐标为(2，0)，设过焦点F(2，0)的直线为yk(x2)(k0)，A(
5、x1，y1)，B(x2，y2)将yk(x2)代入抛物线方程消去y得k2x24(k22)x4k20.因为k20，所以x1x24（k22）k24 8k2，x1x24.因为|AB|1k24 8k2 21610，所以k24，所以x1x26，所以OAB的重心的横坐标为x1x2032，故选B.(2)设过点A与抛物线相切的直线方程为ykxp2.由ykxp2，x22py，得x22pkxp20，由4k2p24p20，可得k1，则Qp，p2，Pp，p2，所以APQ的面积为122pp4，所以p2.故选D.(3)易知直线 OM的方程为y2x，则线段OM的垂直平分线的方程为2x4y50，把焦点坐标0，p2 代入2x4y
6、50可求得p52，从而得到准线方程是y54.答案：(1)B(2)D(3)y54考点1 直线与圆锥曲线的位置关系(讲练互动)【例】(2018全国卷)设抛物线C：y22x，点A(2，0)，B(2，0)，过点A的直线l与C交于M，N两点(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：ABMABN.(1)解：当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得M的坐标为(2，2)或(2，2)所以直线BM的方程为y12x1或y12x1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以ABMABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x10，x20
7、.由yk（x2），y22x，得ky22y4k0，可知y1y22k，y1y24.直线BM，BN的斜率之和为kBMkBNy1x12y2x22x2y1x1y22（y1y2）（x12）（x22）.将x1y1k 2，x2y2k 2及y1y2，y1y2的表达式代入式分子，可得x2y1x1y22(y1y2)2y1y24k（y1y2）k88k0.所以kBMkBN0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以ABMABN.综上，ABMABN.判定直线与圆锥曲线位置关系应注意以下两点1联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况2判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式起着关键性的作用，第一：可以限定所给
8、参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根变式训练1直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点，则k的值为()A1 B1或3 C0 D1或0解析：由ykx2，y28x，得k2x2(4k8)x40，若k0，则y2，符合题意若k0，则0，即6464k0，解得k1，所以直线ykx2与抛物线y28x有且只有一个公共点时，k0或k1.答案：D2(2018全国卷)设抛物线C：y24x的焦点为F，过点(2，0)且斜率为 23 的直线与C交于M，N两点，则FM FN()A5 B6 C7 D8解析：由题意知直线MN的方程为y23(x2)，联立直线与抛物线的方程，得y23（x2），y24x，解得x1，y2或
9、x4，y4.不妨设M为(1，2)，N为(4，4)又因为抛物线焦点为F(1，0)，所以 FM(0，2)，FN(3，4)所以FM FN 03248.故选D.答案：D考点2 弦长问题(讲练互动)【例】(2019长沙模拟)已知平面内一动点M与两定点B1(0，1)和B2(0，1)连线的斜率之积等于12.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)设直线l：yxm(m0)与轨迹E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，当m变化时，求PAB面积的最大值解：(1)设M的坐标为(x，y)，依题意得y1x y1x 12，化简得动点M的轨迹E的方程为x22 y21(x0)(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)
10、联立x22 y21（x0），yxm，化简得3x24mx2m220(x0)，因为有两个不同的交点，所以(4m)212(2m22)0，即 3m 3且m1，0，1.由根与系数的关系得x1x24m3，x1x22m223，设A，B的中点为C(xC，yC)，则xCx1x222m3，yCxCmm3，所以C2m3，m3，所以线段AB的垂直平分线方程为ym3x2m3，令y0，得P点坐标为m3，0.则点P到AB的距离d2m32，由弦长公式得|AB|2（x1x2）24x1x223 248m2，所以SPAB122m32 23 248m22 29m2（3m2）2 29 m23m22 23，当且仅当m232，即m 62(
11、3，3)时，等号成立，所以PAB面积的最大值为 23.求弦长的三种常用方法1定义法：过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义，可优化解题2点距法：将直线的方程和圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长3弦长公式法：它体现了解析几何中设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系得到的提醒：直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂直的特殊情况变式训练设F1，F2分别是椭圆E：x2 y2b2 1(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求|AB|；(2)若直线l的斜率为1，求b的值
12、解：(1)由椭圆定义知|AF1|AF2|2a2，|BF1|BF2|2a2，|AF2|AB|BF2|4，又2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43.(2)设直线l的方程为yxc，其中c1b2.A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组yxc，x2y2b21.化简得(1b2)x22cx12b20.则x1x2 2c1b2，x1x212b21b2.因为直线AB的斜率为1，所以|AB|2|x2x1|，即43 2|x2x1|，则89(x1x2)24x1x24（1b2）（1b2）24（12b2）1b28b4（1b2）2，因为0b1.所以b 22.考点3 中点弦问题(讲练互动)【例1】(
13、2019广东五校调研)若椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，直线y3x7与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标为1，则这个椭圆的方程为()A.x212y2201 B.x24 y2121C.x212y281 D.x28 y2121解析：因为椭圆的中心在原点，一个焦点为(0，2)，所以设椭圆方程为 y2b24x2b21，由 y2b24x2b21，y3x7，消去x，得(10b24)y214(b24)y9b413b21960，设直线y3x7与椭圆相交所得弦的端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知y1y221，所以y1y214（b24）10b242，解得b28.所以所求椭圆方程为x28 y2
14、121，故选D.答案：D【例2】如图，已知椭圆x22 y21上两个不同的点A，B关于直线ymx12对称则实数m的取值范围为_解析：由题意知m0，可设直线AB的方程为y1mxb.由x22 y21，y1mxb，消去y，得12 1m2 x22bmxb210.因为直线y1mxb与椭圆x22y21有两个不同的交点，所以2b22 4m20.将AB中点M2mbm22，m2bm22 代入直线方程ymx12，解得bm222m2.由得m 63.答案：m 63处理中点弦问题的常用方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，y1y2x1x2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化为一元二次方程后由根与系数的关系求解变式训练抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴上，直线xy0与抛物线C交于A，B两点若P(1，1)为线段AB的中点，则抛物线C的方程为()Ay2x2By22xCx22yDy22x解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程为y22px，则y212px1，y222px2，两式相减可得2p y1y2x1x2(y1y2)kAB22，即可得p1，所以抛物线C的方程为y22x.答案：B
