1、第23节 平面向量基本定理及坐标表示考纲呈现 1熟悉平面向量的基本定理及其意义，并掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 2会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算，并理解用坐标表示平面向量共线的条件 3坐标运算可将几何问题转化为代数问题进行求解，并注意在平面几何、解析几何中的应用.诊断型微题组 课前预习诊断双基1平面向量基本定理 如果 e1，e2 是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，一对实数 1，2，使 a1e12e2.其中，不共线的向量 e1，e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组 2平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设 a(x1，y1)，b(x2
2、，y2)，则 ab，ab，a，|a|x21y21.不共线有且只有基底(x1x2，y1y2)(x1x2，y1y2)(x1，y1)(2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB，|AB|x2x12y2y12.3平面向量共线的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.a，b 共线.(x2x1，y2y1)x1y2x2y10【知识拓展】1若 a 与 b 不共线，ab0，则 0.2设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，如果 x20，y20，则 abx1x2y1y2.1若 a，b 为非零向量，当 ab 时，a，b
3、的夹角为 0或 180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错；2要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息；3若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2 有可能等于 0，所以应表示为 x1y2x2y10.1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)若 a，b 不共线，且 1a1b2a2b，则 12，12.()(3)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示()(4)若 a(x
4、1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件可表示成x1x2y1y2.()(5)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标()2(2018 吉林延边质检)已知向量 a(1,1)，b(2，x)若 ab与 4b2a 平行，则实数 x 的值是()A2B0C1D2【答案】D【解析】由已知得 ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，因为 ab 与 4b2a 平行，则有 3(4x2)6(x1)，解得 x2.3在ABC 中，点 D 在 BC 边上，且CD 2DB，CD rABsAC，则 rs 等于()A23B43C3D0【答案】D【解析】因为CD 2DB，所以CD 23CB 23(ABA
5、C)23AB23AC，则 rs2323 0，故选 D.4(教材习题改编)已知ABCD 的顶点 A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点 D 的坐标为_【答案】(1,5)【解析】设 D(x，y)，则由ABDC，得(4,1)(5x,6y)，即45x，16y，解得x1，y5，故 D 的坐标为(1,5)5在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A，B，C 三点满足OC23OA 13OB，则|AC|AB|_.【答案】13【解析】OC 23OA 13OB，OC OA 13OA 13OB 13(OB OA)AC13AB.|AC|AB|13.形成型微题组 归纳演绎形成方法 平面向量基本定理的应用 1(20
6、18 合肥质检)如图所示，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D是半圆弧的两个三等分点，ABa，AC b，则AD()Aa12b B.12abCa12b D.12ab【答案】D【解析】连接 CD，由点 C，D 是半圆弧的三等分点，得 CDAB且CD 12AB12a，所以AD ACCD b12a.2(2018 天津五校联考)在ABC 中，D 在 BC 边上，且CD 2BD.若CD pABqAC，则 pq_.【答案】0【解析】CD 23CB23(ABAC)23AB23AC，p23，q23，pq0.故答案为 0.微技探究 平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是
7、利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决 1.(2018 山东师大附中高三二模)ABC 中，点 E 为 AB 边的中点，点 F 为 AC 边的中点，BF 交 CE 于点 G.若AG xAEyAF，则 xy()A32B43C1D23【答案】B【解析】B，G，F 三点共线，AG AB(1)AFAB12AC.C，G，E 三点共线，AG AE(1)AC2AB(1)AC.2，12 1，13，23，AG 13AB23AF，AG 23AE23AF，AG xAEyAF，x
8、y43.故选 B.2.(2018 四川成都模拟)在下列向量组中，可以把向量 a(3,2)表示出来的是()Ae1(0,0)，e2(1,2)Be1(1,2)，e2(5，2)Ce1(3,5)，e2(6,10)De1(2，3)，e2(2,3)【答案】B【解析】根据，ae1e2.选项 A：(3,2)(0,0)(1,2)，则 3，22，无解，故选项A 不能；选项 B：(3,2)(1,2)(5，2)，则 35，222，解得，2，1，故选项 B 能 选项 C：(3,2)(3,5)(6,10)，则 336，2510，无解，故选项 C 不能 选项 D：(3,2)(2，3)(2,3)，则 322，233，无解，故选
9、项 D 不能 故选 B.平面向量的坐标运算 1(2018 广东六校联考)已知向量 a(5,2)，b(4，3)，c(x，y)，若 3a2bc0，则 c()A(23，12)B(23,12)C(7,0)D(7,0)【答案】A【解析】由题意可得 3a2bc(23x,12y)(0,0)，所以23x0，12y0，解得x23，y12.所以 c(23，12)故选 A.2(2019 沈阳质量监测)已知在ABCD 中，AD(2,8)，AB(3,4)，对角线 AC 与 BD 相交于点 M，则AM()A12，6 B12，6C12，6D12，6 【答案】B【解析】因为在ABCD 中，有ACABAD，AM 12AC，所以
10、AM12(ABAD)12(1,12)12，6.故选 B.微技探究 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行计算若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则 1.(2015 全国，3)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC(4，3)，则向量BC()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)【答案】A【解析】由已知点 A(0,1)，B(3,2)，得到AB(3,1)，向量AC(4，3)，则向量BCACAB(7，4)故答案为 A.2.(2018 广东汕头模拟)已知向量 a(1,2)，2ab(3,2)，则 b()A(1，2)B(1
11、，2)C(1,2)D(1,2)【答案】B【解析】a(1,2)，2ab(3,2)，则 b(2ab)2a(3,2)2(1,2)(3,2)(2,4)(32,24)(1，2)，故选 B.平面向量共线的坐标表示 1(2017 陕西质检(二)在平面直角坐标系中，已知向量 a(1,2)，a12b(3,1)，c(x,3)，若(2ab)c，则 x()A2B4C3D1【答案】D【解析】依题意，得 b2a(3,1)(4,2)，2ab(2,6)，6x236，x1，故选 D.2(2018 东营模拟)若三点 A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab0)共线，则1a1b的值等于_【答案】12【解析】AB(a2，2)，
12、AC(2，b2)，依题意，有(a2)(b2)40，即 ab2a2b0，所以1a1b12.微技探究 平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略(1)利用两向量共线求参数，如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件是x1y2x2y1”解题比较方便(2)利用两向量共线的条件求向量坐标一般地，在求与一个已知向量 a 共线的向量时，可设所求向量为 a(R)，然后结合其他条件列出关于 的方程，求出 的值后代入 a 即可得到所求的向量 1.(2018 山西大学附中模拟)已知向量 a(1,2)，b(3,2)若(kab)(a3b)，则实数 k
13、的取值为()A13B13C3D3【答案】A【解析】由 a(1,2)，b(3,2)，得 kabk(1,2)(3,2)(k3,2k2)，a3b(1,2)3(3,2)(10，4)，则由(kab)(a3b)，得(k3)(4)10(2k2)0，所以k13.故选 A.2.(2018 甘肃平凉模拟)已知 a，b 为正实数，向量 m(a,4)，向量 n(b，b1)若 mn，则 ab 的最小值为_【答案】9【解析】mn，4ba(b1)0(b1)，a 4bb10，解得 b1.ab 4bb1b5 4b1b1.b1 时，ab524b1b19，当且仅当 b3 时，取等号，ab 的最小值为 9.故答案为 9.目标型微题组
14、 瞄准高考使命必达1(2018 全国，13)已知向量 a(1,2)，b(2，2)，c(1，)若c(2ab)，则 _.【答案】12【解析】由题易得 2ab(4,2)，因为 c(2ab)，所以 42，得 12.2(2018 北京，9)设向量 a(1,0)，b(1，m)若 a(mab)，则 m_.【答案】1【解析】a(1,0)，b(1，m)，则 mab(m1，m)由 a(mab)得 a(mab)0，即 m10，得 m1.3(2017 山东，11)已知向量 a(2,6)，b(1，)，若 ab，则 _.【答案】3【解析】由 ab 可得1623.4(2016 全国，13)已知向量 a(m,4)，b(3，2)，且 ab，则 m_.【答案】6【解析】a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.5(2015 江苏，6)已知向量 a(2,1)，b(1，2)若 manb(9，8)(m，nR)，则 mn 的值为_【答案】3【解析】由向量 a(2,1)，b(1，2)，得 manb(2mn，m2n)(9，8)，则2mn9，m2n8，解得m2，n5，故 mn3.
