1、计数原理与概率统计一、单选题1（2021上海高三一模）在的二项展开式中，二项式系数的和为（ ）A8B16C27D81【答案】B【分析】由二项式展开式，令即可求二项式系数的和的值.【详解】，令，即有二项式系数的和：.故选：B2（2020上海高三一模）从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点，可得到四面体的个数为（ ）ABCD【答案】A【分析】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，去掉四点共面的情况即可求解.【详解】从正方体的8个顶点中选取4个顶点有种，正方体表面四点共面不能构成四面体有种，正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有种，所以可得到的四面体的个数为种，故选：A【点睛】关键点点睛：本题主要
2、采用间接法，如果直接讨论，需要讨论的情况比较多，所以正难则反，这是解题的关键.3（2021上海市建平中学高三三模）有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道13名同学成绩的（ ）A平均数B众数C中位数D方差【答案】C【分析】成绩由小到大排列，能否进入决赛就看小明成绩排名是否在第7以前即可得解.【详解】把13名同学成绩按由大到小排列，取成绩靠前的6个成绩进入决赛，即最中间一个数之前的6个成绩进入决赛，13个成绩按由大到小排列时，最中间一个数即是中位数.故选：C4（2021上海市青浦高级中学高三三模）有17
3、名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前8名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道17名同学成绩的（ ）A平均数B众数C中位数D方差【答案】C【分析】根据中位数的性质，结合题设按成绩排序17选8，即可知还需明确的成绩数据信息.【详解】由题设，17名同学参加百米竞赛，要取前8名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定17名同学成绩的中位数，即第9名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.故选：C.二、填空题5（2020上海高三专题练习）从甲乙丙丁4名同学中选2名同学参加志愿者服务，则甲乙两人都没有被选到的概率为_(用数字作答).【答案】【分析】先计算出从4名同学
4、中选2名同学的情况，再计算出甲乙两人都没有被选到的情况，即可求出概率.【详解】解：从4名同学中选2名同学共有种,甲乙两人都没有被选到有种， 甲乙两人都没有被选到的概率为.6（2020上海高三一模）在展开式中，常数项为_.（用数值表示）【答案】【分析】写出展开式的通项，令指数位置等于即可求解.【详解】展开式的通项为，令，可得，所以常数项为，故答案为：7（2021上海高三二模）某校高一、高二、高三共有200名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了20名学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：高一66.577.58高二6789101112高三34.567.5910.51213.5则
5、根据上述样本数据估计该校学生一周的锻炼时间不小于小时的人数为_.【答案】人.【分析】计算样本数据该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数，由此可估计总体中的数据，得到答案.【详解】由表格中，可得样本数据中该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为：人，腹肌该校学生一周的锻炼时间不小于7小时的人数为人.故答案为：人.8（2021上海高三二模）已知某社区的家庭年收入的频率分布如下表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为_万元.家庭年收入(以万元为单位)频率0.20.20.20.260.070.07【答案】6.51【分析】将表格中各区间家庭收入的中间值乘以频率，然后加总即可.【详解】由表格数据知：
6、家庭的平均年收入万元.故答案为：.9（2021上海高三二模）在的二项展开式中，项的系数为_(结果用数值表示).【答案】160【分析】直接根据生成法求解的系数.【详解】展开式中含的项为，所以项的系数为160，故答案为：160.10（2021上海高三三模）若从总体中随机抽取的样本为：1132242，则该总体标准差的点估计值是_.(精确到0.1)【答案】【分析】利用样本标准差的点估计值估计总体标准差的点估计值即可.【详解】解：由已知，样本的平均值为，所以样本标准差的点估计值为，所以总体标准差的点估计值是，故答案为：.11（2021上海市七宝中学高三一模）如果，的方差是，则，的方差为_.【答案】3【分
7、析】根据线性变化后数据间方差的关系计算方差【详解】因为，的方差是，则，的方差为故答案为：3三、解答题12（2020上海高三专题练习）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：T（分钟）25303540频数（次）20304010刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返月老校区共用时间不超过120分钟的概率.【答案】【分析】先求出T的分布列，设，分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布相同，设事作A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟
8、，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”，由此可得答案【详解】解：由统计结果可得T的频率分布为T（分钟）25303540频率0.20.30.40.1以频率估计概率得T的分布为T25303540P0.20.30.40.1设，分别表示往、返所需时间，的取值相互独立，且与T的分布相同.设事作A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A对应于“刘教授在路途中的时间不超过70分钟”.解法一：；解法二：，故【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题13（2020上海高三专题练习）若的展开式中第2项小于第1项，但不小于第3项，求
9、实数x的范围【答案】【分析】利用二项展开式，求得第1、2、3项，根据题意列出不等式，求出的范围.【详解】解：通项公式，则， 得，化简得，解得.【点睛】本题考查了二项式定理，通项公式的求解与应用是解决问题的关键，属于容易题.14（2020上海高三专题练习）学校开设的课程有语文、数学、外语、政治、物理、化学、体育门，若星期五只排节课，并且规定体育不排在第一和第四节，问星期五的课表有几种排法？【答案】种【分析】采用特殊位置优先法，先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置，即可得解.【详解】先排第一和第四节课，因为体育不排在第一和第四节，所以有种排法；再从余下的五门课中挑两门排到第二和第三节课，有
10、种，因此，根据分步乘法计数原理可知，共有排课方法种.所以，星期五的课表有种排法.【点睛】本题主要考查排列的应用以及分步乘法计数原理的应用，属于基础题.一些常见类型的排列组合问题的解法：（1）特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；（2）分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏；（3）间接法（排除法），从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法；（4）捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元
11、素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列；（5）插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空；（6）去序法或倍缩法；（7）插板法：个相同元素，分成组，每组至少一个的分组问题.把个元素排成一排，从个空中选个空，各插一个隔板，有；（8）分组、分配法：有等分、不等分、部分等分之别.15（2020上海高三专题练习）两个相交平面M与N，它们的交线为l.在l上有3点，除这3点外在平面M，N上各有5点、4点，则这12点最多能确定多少个平面？【答案】132个【分析】最多情况，即除在l上的三点外，无三点共线.再按平面M，N上点以及l上点这三部分取点情况分类讨论，最后根据分类加法计数原理求结果.【详解】考虑最多情况，应使除在l上的三点外，无三点共线如图，不妨记M上除l上三点的其余5点为第一部分；l上三点为第二部分；N上除l上三点的其余4点为第三部分.从第一、二、三部分中各取一点构成平面，有个；从第一部分取2个点、第三部分取1个点，有个；从第一部分取1个点、第三部分取2个点有个；另外，平面M、N也是由这些点构成的，因此，共有（个）【点睛】本题考查分类加法计数原理，考查分析求解能力，属基础题.
