1、高考资源网（） 您身边的高考专家G单元 立体几何 目录G单元 立体几何1G1 空间几何体的结构2G2 空间几何体的三视图和直观图2G3 平面的基本性质、空间两条直线2G4 空间中的平行关系2G5 空间中的垂直关系2G6 三垂线定理2G7 棱柱与棱锥2G8 多面体与球2G9空间向量及运算2G10 空间向量解决线面位置关系2G11 空间角与距离的求法2G12 单元综合2G1 空间几何体的结构【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】12.将长、宽分别为4和3的长方形ABCD沿对角线AC折起，得到四面体A-BCD，则四面体A- BCD的外接球的体积为_.【知识点】几何
2、体的结构；球的体积. G1【答案】【解析】解析： 因为线段AC中点O到四个顶点的距离都是，所以O为球心，为半径，所以四面体A- BCD的外接球的体积为：.【思路点拨】易得四面体A- BCD的外接球的球心为线段AC的中点，由此求得此球的体积.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】8如图，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： 水的部分始终呈棱柱状； 水面四边形EFGH的面积不改变； 棱A1D1始终与水面EFGH平行； 当EAA1时，AE+BF是定值 其中
3、正确说法是 A B C D 【知识点】几何体的结构. G1【答案】【解析】D解析：显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故正确；容器倾斜度越大，水面四边形EFGH的面积越大，故不正确；显然棱A1D1始终与水面EFGH平行，故正确；由于水的体积不变，四棱柱ABFE-DCGH的高不变，所以梯形ABFE的面积不变，所以AE+BF是定值，故正确.所以四个命题中 正确，故选D.【思路点拨】根据棱柱的性质逐一判定每个命题的正误即可.【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AE=BE=,平面A
4、BCD平面ABE.(1)求证：平面ADE平面BCE；(2)求三棱锥DACE的体积.【知识点】线面垂直的判定；锥体的体积公式. G5 G1【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）解析：（1）四边形ABCD是正方形，ADAB.又平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABE=AB，AD平面ABCD，AD平面ABE，而BE平面ABE，ADBE.又AE=BE=,AB=2，,AEBE.而ADAE=A，AD、AE平面ADE，BE平面ADE，而BE平面BCE,平面ADE平面BCE.（6分）（2）取AB的中点O，连接OE，ABE是等腰三角形，OEAB.又AD平面ABE，OE平面ABE，ADOE,OE平面AB
5、CD,即OE是三棱锥DACE的高.又AB=AE=BE=2，OE=1，.-（12分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面BCE内找到直线与平面ADE垂直即可，易知此直线是BE；（2）利用等体积转化法，转化为求三棱锥E-ACD的体积即可.【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】7、下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）ABCD【知识点】几何体的三视图体现的几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】A解析：由三视图可知此几何体为：底面是长6、宽2的矩形，顶点在底面上摄影是，底面矩形边长为6 的一边的中点，且此四棱锥的高为4，所以其表面积为：
6、=.故选A.【思路点拨】由三视图得此四棱锥的结构特点，从而求得该几何体的表面积.G2 空间几何体的三视图和直观图【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】15.正四面体ABCD的外接球的体积为，则正四面体ABCD的体积是_.【知识点】几何体的体积.G2【答案】【解析】 解析：设正四面体的棱长为x，则底面三角形的高为，即有，棱锥的高为，由于外接球的体积为，在直角三角形得，则正四面体的体积为所以答案为【思路点拨】由几何体的体积公式可求出其体积.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】7.多面体MN-ABCD的底面AB
7、CD为矩形，其正（主）视图和侧（左）视图如图，其中正（主）视图为等腰梯形，侧（左）视图为等腰三角形，则AM的长 A.B.C.D.【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B解析：在直观图中，过M作MH垂直于AB,垂足为H，则直角三角形AHM中，AH=1，MH=2，所以AM=，故选B.【思路点拨】由三视图得原几何体的结构，由此在直观图中，适当添加辅助线，求得AM长.【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】4将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（ ） 【知识点】空间几何体的三视图.G2【答案】【解析】B 解析：由
8、题意可知几何体前面在右侧的射影为线段，上面的射影也是线段，后面与底面的射影都是线段，轮廓是正方形，AD1在右侧的射影是正方形的对角线，B1C在右侧的射影也是对角线是虚线故选B【思路点拨】直接利用三视图的画法，画出几何体的左视图即可【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】5一个几何体的三视图及其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为( )cm2。 A48 B144 C80 D64【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案解析】C 三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5cm，底面边长是8cm，侧面积为 485=80（cm2）；故选C【思路点拨】先判断
9、三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据，确定斜高，再求侧面积 【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】7.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于A.12B.4C.D.【知识点】几何体的三视图. G2【答案】【解析】B解析：由三视图可知此几何体是底面为直角梯形（其上底长2，下底长4，高2），高为2的四棱锥，所以其体积为，故选B.【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的结构，从而求得该几何体的体积.【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】8.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 （）ABCD【知识点】空间几
10、何体的三视图和直观图G2【答案解析】A 由三视图知：几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，其中半圆锥与四棱锥的高都为，半圆锥的底面半径为1，四棱锥的底面是边长为2的正方形，几何体的体积V= + 22= + 故答案为：【思路点拨】几何体是半圆锥与四棱锥的组合体，根据三视图判断半圆锥与四棱锥的高及半圆锥的底面半径，判断四棱锥的底面四边形的形状及相关几何量的数据，把数据代入圆锥与棱锥的体积公式计算【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】7、下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）ABCD【知识点】几何体的三视图体现的几何体的结构. G1 G2【答案】【解析】A解析
11、：由三视图可知此几何体为：底面是长6、宽2的矩形，顶点在底面上摄影是，底面矩形边长为6 的一边的中点，且此四棱锥的高为4，所以其表面积为：=.故选A.【思路点拨】由三视图得此四棱锥的结构特点，从而求得该几何体的表面积.G3 平面的基本性质、空间两条直线【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】 15已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角为 【知识点】空间两条直线G3【答案解析】 取中点，则取中点，则， 为与所成的角。【思路点拨】异面直线所成的角通过作平行线转化成平面角求出。G4 空间中的平行关系【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（2
12、01411） word版】5.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，则lmB.若lm，则C.若lm，,则D.若,则【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4 G5 【答案】【解析】A 解析：对于A，若，则lm，故A正确；对于B，若lm，则或或，故B错误；对于C，若lm，,则或，故C错误；对于D，若,则或重合或异面；故D错误；故选A.【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】5.对于平面和直线，下列命题中真命题是A.若则ab；B.若ab，则；C.若，则；D.若am，an，
13、则；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理G4 G5 【答案】【解析】A 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，可判断若则ab为真命题，A正确;若ab，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面外时，才有，故B错误；若，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a、b为相交线时，才有故C错误；若am，an，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有，D错误；故选A.【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判
14、定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】20.（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】（1）略（2）略（3）（1）证明：依题 平面 平面 （2）证明：中， 中， 在平面外 平面 （3）解：由（2）知，且 到的距离等于到的距离为1 平面 【思路
15、点拨】根据线面垂直平行证明，根据体积公式求体积。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】6.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面，则；命题：，则，则下列命题为真命题的是 （ ）A或 B且 C或 D且【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】C 在长方体ABCD-A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；-p正确；命题q：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l，ml，m
16、，而，故命题q不正确；-q正确；故选C【思路点拨】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G4 G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 解析：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则EF为中位线2分而面，面面4分（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点5分正方体，7分综合，且，而，9分（3）由（2）
17、可知 即CF为高 ，10分， 即12分=14分【思路点拨】（1）欲证EF平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EFD1B，而D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CFB1E即可；（3）由题意，可先证明出CF平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面B1EF的面积，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积G5 空间中的垂直关系【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考
18、适应性考试（201411） word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）设直线C1N与CNB1所成的角为，求的值.【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.G5 G11 【答案】【解析】（I）见解析；（II）。 解析：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , ,方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两垂直。以,分别为,轴建立空间
19、直角坐标系，则,，,6分(2)方法一：利用等体积法可求到面的距离为， 则直线与平面所成的角的正弦值为，从而方法二：设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而12分【思路点拨】（I）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（II）先利用等体积法可求到面的距离。【数学（理）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】5.设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是A.若，则lmB.若lm，则C.若lm，,则D.若,则【知识点】空间中线线、线面间的位置关系.G4 G5 【答案】【解析】A 解析：对于A，若，则lm，故A正确；对于B，
20、若lm，则或或，故B错误；对于C，若lm，,则或，故C错误；对于D，若,则或重合或异面；故D错误；故选A.【思路点拨】利用空间中线线、线面间的位置关系进行判断即可。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）求三棱锥C1CNB1的体积.【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.G5 G7 【答案】【解析】（1）见解析；(2) 解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图
21、为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , , 6分 (2) 由等体积法,12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先利用等体积法可求到面的距离。【数学（文）卷2015届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】5.对于平面和直线，下列命题中真命题是A.若则ab；B.若ab，则；C.若，则；D.若am，an，则；【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；命题的真假判断与应用；空间图形的公理G4 G5 【答案】【解析】A 解析：由面面平行的性质定理：若两平面平行，第三个平面与他们都相交，则交线平行，
22、可判断若则ab为真命题，A正确;若ab，此时由线面平行的判定定理可知，只有当a在平面外时，才有，故B错误；若，此时由面面平行的判定定理可知，只有当a、b为相交线时，才有故C错误；若am，an，由线面垂直的判定定理知，只有当m和n为相交线时，才有，D错误；故选A.【思路点拨】由线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以此判断即可。【典例剖析】本题主要考查了对线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理、面面平行的判定定理、面面平行的性质定理内容的理解和它们的字母符号表达形式，熟记公式推理严密是解决本题的关键。【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三
23、次模拟考试（201411）(1)】19.在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【知识点】面面垂直，直线与平面所成的角，点到平面的距离.G5,G11,H2【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则。（3） 可
24、求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为.【思路点拨】由已知条件可判定面面垂直，再由等体积法求出距离，再按比例关系求出点到平面的距离.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=(1)求证：平面PQB平面PAD；(2)若二面角M-BQ
25、-C为30。，设PM=tMC，试确定t的值【知识点】 面面垂直的判定；二面角的应用. G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）3.解析：（1）ADBC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD/BQ.（2分）ADC=90， AQB=90，即QBAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，（4分）BQ平面PAD，（5分）BQ平面PQB，平面PQB平面PAD.（6分）另证：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，BC/DQ且BC=DQ四边形BCDQ为平行四边形，CD/BQ.ADC=90， AQB=90，即QBAD.（3分）PA=PD，PQAD.
26、（4分）PQBQ=Q，AD平面PBQ，（5分）AD面PAD，平面PQB平面PAD.（6分）（2）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD.-（7分）（不证明PQ平面ABCD直接建系扣1分）以Q为原点QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴建立空间直角坐标系.则平面 BQC的法向量为：（8分）设，则， 且M在棱PC上，所以t0,（10分）在平面MBQ中，平面MBQ的法向量.二面角M-BQ-C为30。，t=3.（12分） 【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在其中一个平面内找到一条直线，垂直于另一个平面即可，为此,可证；（2
27、）证明PQ平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，得平面 BQC的法向量，用t表示平面MBQ的法向量的坐标，由，求得t值.【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】17.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且底面， ，点为中点，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定G10 G5【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1），又，则，即.又底面，而则平面，又平面，平面平面. 5分（2）为二面角的平面角，则， .7分过作的垂线，垂足为，连结
28、，又平面，则平面，为直线与平面所成的角， 9分易得， 11分则，即. 12分【思路点拨】（1）由已知中，点为中点，我们易得到AEB=60，CED=30，进而得到AEED，又由AA1底面ABCD，得AA1ED，结合线面垂直的判定定理得到ED平面AA1EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A1ED平面A1AEF（2）过A作A1E的垂线，垂足为H，连结HD，由已知条件推导出A1ED为二面角A1EDA的平面角，ADH为直线AD与平面A1ED所成的角，由此能求出sin（+）=1【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17（本小题满分14分）在三棱柱ABCA1B1C
29、1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：()证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】()连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，则E为所求可以证出OEBB1，BCOE而得以证明在RT中，利用直角三角形射影定理得出EO(
30、)如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】 20.(本题12分）如图，是矩形中边上的点，为边的中点， 现将沿边折至位置，且平面平面. 求证：平面平面； 求四棱锥的体积. 【知识点】空间中的垂直关系G5【答案解析】(1) 略(2) (1) 证明：由题可知，(2) ，则.【思路点拨】利用线面垂直证明面面垂直，利用体积公式求出体积。【数学文卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.
31、（本小题满分12分） 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ABE为等腰三角形，AE=BE=,平面ABCD平面ABE.(1)求证：平面ADE平面BCE；(2)求三棱锥DACE的体积.【知识点】线面垂直的判定；锥体的体积公式. G5 G1【答案】【解析】(1)证明：见解析；（2）解析：（1）四边形ABCD是正方形，ADAB.又平面ABCD平面ABE,平面ABCD平面ABE=AB，AD平面ABCD，AD平面ABE，而BE平面ABE，ADBE.又AE=BE=,AB=2，,AEBE.而ADAE=A，AD、AE平面ADE，BE平面ADE，而BE平面BCE,平面ADE平面BCE.（6分）（2）取AB的中
32、点O，连接OE，ABE是等腰三角形，OEAB.又AD平面ABE，OE平面ABE，ADOE,OE平面ABCD,即OE是三棱锥DACE的高.又AB=AE=BE=2，OE=1，.-（12分）【思路点拨】（1）根据线面垂直的判定定理，只需在平面BCE内找到直线与平面ADE垂直即可，易知此直线是BE；（2）利用等体积转化法，转化为求三棱锥E-ACD的体积即可.【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动（1）证明：ADC1E；（2）当异面直线
33、AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1-A1B1E的体积【知识点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积G5 G7【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）ABAC，D是BC的中点，ADBC 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，ADBB1 由，得AD平面BB1C1C由点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，ADC1E6分（2）ACA1C1，A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，A1C1E60B1A1C1BAC90，A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E故C1E2，又B1C
34、12，B1E2从而V三棱锥C1-A1B1ESA1B1EA1C1212分【思路点拨】（1）根据直三棱柱的性质，得ADBB1，等腰ABC中利用“三线合一”证出ADBC，结合线面垂直判定定理，得AD平面BB1C1C，从而可得ADC1E；（2）根据ACA1C1，得到EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角由A1C1A1B1且A1C1AA1，证出A1C1平面AA1B1B，从而在RtA1C1E中得到EC1A1=60，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1A1B1E的体积【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（
35、201411）】20.（本小题满分13分）如图，、是以为直径的圆上两点， 是上一点，且，将圆沿直径折起，使点在平面的射影在上，已知.（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积【知识点】空间中的平行关系 空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】（1）略（2）略（3）（1）证明：依题 平面 平面 （2）证明：中， 中， 在平面外 平面 （3）解：由（2）知，且 到的距离等于到的距离为1 平面 【思路点拨】根据线面垂直平行证明，根据体积公式求体积。【数学文卷2015届湖北省黄冈中学高三上学期期中考试（201411）】6.设、是两个不同的平面，、为两条不同的直线，命题：若平面，则；命题：，
36、则，则下列命题为真命题的是 （ ）A或 B且 C或 D且【知识点】空间中的平行关系空间中的垂直关系G4 G5【答案解析】C 在长方体ABCD-A1B1C1D1中命题p：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足，l，m，而m与l异面，故命题p不正确；-p正确；命题q：平面AC为平面，平面A1C1为平面，直线A1D1，和直线AB分别是直线m，l，显然满足l，ml，m，而，故命题q不正确；-q正确；故选C【思路点拨】对于命题p，q，只要把相应的平面和直线放入长方体中，找到反例即可【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】19、
37、（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面。 （1）求证：; (2)求与平面所成角的正弦值。【知识点】线面垂直的判定与性质；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）.解析：（1）底面ABCD 为菱形，,DM ABCD， ,平面PDB,-4分（2）设PD=AD=1，A到平面PBC的距离为h,则由题意PA=PB=PC=,在等腰中，可求解得，-12分【思路点拨】（1）只需证直线AC平面PDB即可；（2）设PD=AD=1，则，要求与平面所成角的正弦值，只需求A到平面PBC的距离为h，可由求得，所以.G6 三垂线定理G7 棱柱与棱锥【数学（文）卷2015届四川省
38、南充市高三第一次高考适应性考试（201411）word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）求三棱锥C1CNB1的体积.【知识点】线面垂直的判定定理；棱锥的体积.G5 G7 【答案】【解析】（1）见解析；(2) 解析：（1）证明：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , , 6分 (2) 由等体积法,12分【思路点拨】（1）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；(2) 先
39、利用等体积法可求到面的距离。【数学文卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BAC90，ABAC，AA13，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动（1）证明：ADC1E；（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60时，求三棱锥C1-A1B1E的体积【知识点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积G5 G7【答案】【解析】（1）见解析；（2） 解析：（1）ABAC，D是BC的中点，ADBC 又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1平面ABC，而AD平面ABC，ADBB1 由，得AD平面BB1C1C由
40、点E在棱BB1上运动，得C1E平面BB1C1C，ADC1E6分（2）ACA1C1，A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，A1C1E60B1A1C1BAC90，A1C1A1B1，又AA1A1C1，从而A1C1平面A1ABB1，于是A1C1A1E故C1E2，又B1C12，B1E2从而V三棱锥C1-A1B1ESA1B1EA1C1212分【思路点拨】（1）根据直三棱柱的性质，得ADBB1，等腰ABC中利用“三线合一”证出ADBC，结合线面垂直判定定理，得AD平面BB1C1C，从而可得ADC1E；（2）根据ACA1C1，得到EC1A1（或其补角）即为异面直线AC、C1E 所成的角由A1C1
41、A1B1且A1C1AA1，证出A1C1平面AA1B1B，从而在RtA1C1E中得到EC1A1=60，利用余弦的定义算出C1E=2A1C1=2，进而得到A1B1E面积为，由此结合锥体体积公式即可算出三棱锥C1A1B1E的体积【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】18.（本小题满分14分）如图所示，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定G4 G7【答案】【解析】（1）见解析；（2）见解析；（3）1 解析：（1）连结，在中，、分别为，的中点，则EF为中位线
42、2分而面，面面4分（2）等腰直角三角形BCD中，F为BD中点5分正方体，7分综合，且，而，9分（3）由（2）可知 即CF为高 ，10分， 即12分=14分【思路点拨】（1）欲证EF平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行即可，连接BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EFD1B，而D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1，满足定理所需条件；（2）由题意，欲证线线垂直，可先证出CF平面BB1D1D，再由线面垂直的性质证明CFB1E即可；（3）由题意，可先证明出CF平面BDD1B1，由此得出三棱锥的高，再求出底面B1EF的面积
43、，然后再由棱锥的体积公式即可求得体积【数学文卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】7.正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，为中点，则三棱锥的体积为（ ） A.B. C.D. 【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积G7【答案】【解析】C 解析：正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，底面B1DC1的面积：，A到底面的距离就是底面正三角形的高：三棱锥AB1DC1的体积为：故选：C【思路点拨】由题意求出底面B1DC1的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积G8 多面体与球【数学文卷2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期中考试（201411）】14、已知矩形的顶点
44、都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。【知识点】多面体与球G8【答案解析】8 矩形的对角线的长为：，所以球心到矩形的距离为：=2，所以棱锥O-ABCD的体积为：622=8故答案为：8【思路点拨】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】9、三棱锥的四个顶点均在同一球面上，其中是正三角形，平面，则该球的体积为（ ）A B C D 【知识点】几何体的结构；三棱锥的外接球. G8 【答案】【解析】B解析：由正弦定理得ABC 的外接圆直径2r=，则球的半径为：
45、，所以该球的体积为 ，故选B.【思路点拨】过点A 的ABC的外接圆直径，与线段AP构成的直角三角形的斜边，是球的直径，利用正弦定理，勾股定理可求得结论.G9空间向量及运算G10 空间向量解决线面位置关系【数学理卷2015届湖南省衡阳八中高三上学期第四次月考（201411）】17.（本小题满分12分）如图，四棱柱的底面是平行四边形，且底面， ，点为中点，点为中点.（1）求证：平面平面；（2）设二面角的大小为，直线与平面所成的角为，求的值.【知识点】与二面角有关的立体几何综合题；平面与平面垂直的判定G10 G5【答案】【解析】（1）见解析；（2）解析：（1），又，则，即.又底面，而则平面，又平面，
46、平面平面. 5分（2）为二面角的平面角，则， .7分过作的垂线，垂足为，连结，又平面，则平面，为直线与平面所成的角， 9分易得， 11分则，即. 12分【思路点拨】（1）由已知中，点为中点，我们易得到AEB=60，CED=30，进而得到AEED，又由AA1底面ABCD，得AA1ED，结合线面垂直的判定定理得到ED平面AA1EF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面A1ED平面A1AEF（2）过A作A1E的垂线，垂足为H，连结HD，由已知条件推导出A1ED为二面角A1EDA的平面角，ADH为直线AD与平面A1ED所成的角，由此能求出sin（+）=1G11 空间角与距离的求法【数学（理）卷2015
47、届四川省南充市高三第一次高考适应性考试（201411） word版】18.（本小题满分12分）已知某几何体的直观图和三视图如下如所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（I）证明：BN平面C1B1N;（II）设直线C1N与CNB1所成的角为，求的值.【知识点】线面垂直的判定定理；线面角.G5 G11 【答案】【解析】（I）见解析；（II）。 解析：（1）证明：方法一：由题意：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形.则,且在面内，易证为直角。 , ,方法二：该几何体的正视图其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图为直角梯形 则,两两
48、垂直。以,分别为,轴建立空间直角坐标系，则,，,6分(2)方法一：利用等体积法可求到面的距离为， 则直线与平面所成的角的正弦值为，从而方法二：设为平面的一个法向量，则 即，令，则。又则,从而12分【思路点拨】（I）先由题意判断出该几何体的直观图，再利用线面垂直的判定定理即可；（II）先利用等体积法可求到面的距离。【数学理卷2015届贵州省遵义航天高级中学高三上学期第三次模拟考试（201411）(1)】19.在四棱锥中，底面是矩形，平面，. 以的中点为球心、为直径的球面交于点，交于点.（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成的角的正弦值；（3）求点到平面的距离.【知识点】面面垂直，直线与平面
49、所成的角，点到平面的距离.G5,G11,H2【答案】【解析】(1)略(2) (3) 解析：（1）依题设知，AC是所作球面的直径，则AMMC。又因为P A平面ABCD，则PACD，又CDAD，所以CD平面，则CDAM，所以A M平面PCD，所以平面ABM平面PCD。（2）由（1）知，又，则是的中点可得，则设D到平面ACM的距离为，由即，可求得，设所求角为，则。（4） 可求得PC=6。因为ANNC，由，得PN。所以。故N点到平面ACM的距离等于P点到平面ACM距离的。又因为M是PD的中点，则P、D到平面ACM的距离相等，由（2）可知所求距离为.【思路点拨】由已知条件可判定面面垂直，再由等体积法求出
50、距离，再按比例关系求出点到平面的距离.【数学理卷2015届湖南省长郡中学2015届高三月考试卷（三）word版】17.（本小题满分12分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，ADBC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=(1)求证：平面PQB平面PAD；(2)若二面角M-BQ-C为30。，设PM=tMC，试确定t的值【知识点】 面面垂直的判定；二面角的应用. G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）3.解析：（1）ADBC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD/
51、BQ.（2分）ADC=90， AQB=90，即QBAD.又平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，（4分）BQ平面PAD，（5分）BQ平面PQB，平面PQB平面PAD.（6分）另证：ADBC，BC=AD，Q为AD的中点，BC/DQ且BC=DQ四边形BCDQ为平行四边形，CD/BQ.ADC=90， AQB=90，即QBAD.（3分）PA=PD，PQAD.（4分）PQBQ=Q，AD平面PBQ，（5分）AD面PAD，平面PQB平面PAD.（6分）（2）PA=PD，Q为AD的中点，PQAD.平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PQ平面ABCD.-（7分）（不证明PQ
52、平面ABCD直接建系扣1分）以Q为原点QA为x轴，QB为y轴，QP为z轴建立空间直角坐标系.则平面 BQC的法向量为：（8分）设，则， 且M在棱PC上，所以t0,（10分）在平面MBQ中，平面MBQ的法向量.二面角M-BQ-C为30。，t=3.（12分） 【思路点拨】（1）根据面面垂直的判定定理，只需在其中一个平面内找到一条直线，垂直于另一个平面即可，为此,可证；（2）证明PQ平面ABCD，以Q为原点建立空间直角坐标系，得平面 BQC的法向量，用t表示平面MBQ的法向量的坐标，由，求得t值.【数学理卷2015届广东省广州市执信中学高三上学期期中考试（201411）】17（本小题满分14分）在三
53、棱柱ABCA1B1C1中，已知，在底面的射影是线段的中点（）证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值【知识点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定G5 G11【答案】【解析】（）见解析；（） 解析：()证明:连接AO,再中,作于点E,因为,所以,因为,所以,所以,所以，又得.()如图,分别以OA,OB, 所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则,由,得点E的坐标是,由()知平面的一个法向量为设平面的法向量是,由得可取,所以.【思路点拨】()连接AO，在AOA1中，作OEAA1于点E，则E为所求可以证出OEBB1，BCOE而得以证明在RT中，利用直角三角
54、形射影定理得出EO()如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是，利用夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值【数学文卷2015届河北省衡水中学高三上学期期中考试（201411）】19、（本小题满分12分） 如图，四棱锥中，底面为菱形，底面。 （1）求证：; (2)求与平面所成角的正弦值。【知识点】线面垂直的判定与性质；线面角的求法. G5 G11【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）.解析：（1）底面ABCD 为菱形，,DM ABCD， ,平面PDB,-4分（2）设PD=AD=1，A到平面PBC的距离为h,则由题意PA=PB=PC=,在等腰中，可求解得，-12分【思路点拨】（1）只需证直线AC平面PDB即可；（2）设PD=AD=1，则，要求与平面所成角的正弦值，只需求A到平面PBC的距离为h，可由求得，所以.G12 单元综合- 38 - 版权所有高考资源网
