1、内容索引010203自主预习 新知导学合作探究 释疑解惑随堂练习课标定位素养阐释1.探索并掌握圆的一般方程.2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化.3.会根据不同的条件利用待定系数法求圆的一般方程.4.初步掌握点的轨迹方程的求法,并能简单应用.5.培养数学抽象、直观想象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习 新知导学一、圆的一般方程【问题思考】1.将圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)展开后可以得到一个什么样的式子?提示:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0.2.将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方后,可以得到一个怎样的方程?这个方程是不是就一定表示圆?4.做一做:
2、若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则k的取值范围是()A.k1B.k0,解得k0,该二元二次方程表示的是圆.探究一探究二探究三易错辨析(4)(方法一)D=-4m,E=2m,F=20m-20,D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2.当m=2时,它表示一个点;当m2时,原方程表示圆心为(2m,-m),探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 判断一个二元二次方程是否表示圆的步骤:先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征,即x2与y2的系数相等;不含xy项;当它具有圆的一般方程的特征时,再看它能否表示圆,此时有两种途径,一是看D2+E2-4F是否大于零,二是直接配方变
3、形,看右边是否为大于零的常数即可.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练1】已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.(1)求实数m的取值范围;(2)求该圆半径的取值范围.探究一探究二探究三易错辨析探究二求圆的一般方程【例2】已知点A(2,2),B(5,3),C(3,-1),求ABC外接圆的方程.分析:欲求圆的方程可先将圆的方程设出来,将条件代入求得.解法一:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.所以,ABC外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.探究一探究二探究三易错辨析解法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.所以,
4、ABC外接圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=5.探究一探究二探究三易错辨析若本例改为:已知圆过A(2,2),C(3,-1)两点,且圆关于直线y=x对称,求圆的一般方程.解:设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择:(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练2】已知圆C:x2+y2
5、+Dx+Ey+3=0,圆心在直线x+y-1=0上,且圆心在第二象限,半径为 ,求圆C的一般方程.探究一探究二探究三易错辨析探究三求动点的轨迹方程【例3】已知直角三角形ABC的斜边为AB,且点A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC中点M的轨迹方程.分析:只需寻求动点与定点之间的关系,然后化简方程即可,不过要注意动点与定点间的约束条件.探究一探究二探究三易错辨析解:(1)(方法一)设顶点C(x,y).因为A,B,C三点不共线,所以y0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).(方法二)设顶点C(x,y).同方法一得y0.由勾股定理得|A
6、C|2+|BC|2=|AB|2,即(x+1)2+y2+(x-3)2+y2=16,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y0).探究一探究二探究三易错辨析(方法三)设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知,|CD|=|AB|=2,由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0).(2)设M(x,y),C(x0,y0).由于y00,故y0.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y0),将
7、x0,y0代入该方程得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此,动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y0).探究一探究二探究三易错辨析反思感悟 1.求动点的轨迹方程的一般步骤为:建系、设点、列式、化简、证明.建系时可根据题目中的条件,建立适当的平面直角坐标系,简化运算是解题的关键.2.求解时,重视从不同视角诠释求动点轨迹方程的步骤,注意灵活运用图形的几何性质.3.对于“双动点”问题,若已知一动点在某条曲线上运动而求另一动点的轨迹方程,则通常用代入法.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练3】已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.(1)求动点
8、M的轨迹方程;(2)若N为线段AM的中点,求点N的轨迹.解:(1)设动点M的坐标为(x,y),化简得x2+y2=16,即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.探究一探究二探究三易错辨析(2)设点N的坐标为(x,y),A(2,0),N为线段AM的中点,点M的坐标为(2x-2,2y).又点M在圆x2+y2=16上运动,(2x-2)2+4y2=16,即(x-1)2+y2=4.点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.探究一探究二探究三易错辨析【易错辨析】忽略了二元二次方程表示圆的条件而致误【典例】已知点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,求a的取值范围.错解:因为点A(a
9、,2)在圆的外部,所以a2+4-2a2-32+a2+a0,解得a2.故a的取值范围为(2,+).探究一探究二探究三易错辨析以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”.正解:因为点A在圆的外部,防范措施 对于二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有在D2+E2-4F0的前提下,它才表示圆,故求解本题在判定出点与圆的位置关系后,要验证所求参数的范围是否满足D2+E2-4F0.探究一探究二探究三易错辨析【变式训练】已知点(1,1)在圆x2+y2-ax-2y+4=0的内部,求a的取值范围.随堂练习1.已知圆x
10、2+y2-4x+2y-4=0,则圆心坐标和半径分别是()A.(2,-1),3B.(-2,1),3C.(-2,-1),3D.(2,-1),9解析:圆的方程x2+y2-4x+2y-4=0可化为(x-2)2+(y+1)2=9.故其圆心坐标为(2,-1),半径为3.答案:A2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是()答案:A 3.已知RtABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()A.x2+y2=25(y0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y0)D.(x-2)2+y2=25解析:线段AB的中点坐标为(2,0),因为ABC为直角三角形,C为直角顶点,又因为点A,B,C不共线,所以y0,即(x-2)2+y2=25(y0).答案:C4.点P(x0,y0)是圆x2+y2=16上的动点,点M是OP(O为原点)的中点,则动点M的轨迹方程是.点P(x0,y0)在圆x2+y2=16上,4x2+4y2=16,即x2+y2=4.答案:x2+y2=45.已知圆C过点O(0,0),A(1,0),B(0,-1),求圆C的方程.解:设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将O,A,B三点坐标依次代入,所以,圆C的方程为x2+y2-x+y=0.
