1、2 数学建模的主要步骤 要点 数学建模的一般步骤基础自测超市卖某一品牌的卫生纸，这种卫生纸分“有芯”和“无芯”两种纸卷，如图两种纸具有同样的材质和厚度，纸卷的高度和单价也一样，若预购买这种卫生纸，但不知道哪种纸卷更合算，如果没有带尺子，用什么办法可以确定合算的纸卷？为什么？解析：合算就是纸的量多。因为纸卷的高度和单价一样，我们只要比较两种纸卷截面的面积，取较大的就合算为此可以各取一个纸卷，令无芯纸卷截面的圆心压在有芯纸卷截面的芯(即小圆)上，如右图，然后看无芯纸卷截面上与有芯纸卷截面的芯相切的直径端点，若端点在有芯纸卷截面的大圆上，则两种纸卷的量相等；若在其内则买有芯纸卷合算；若在其外则买无芯
2、纸卷合算证明：设有芯纸卷截面的内、外半径分为r，R，大圆内与小圆相切的弦长为d，无芯纸卷截面的直径为D，于是，d22R2r2，当Dd时，S有芯(R2r2)d22D22S无芯当Dd时，S有芯(R2r2)d22 D22S无芯当DD22S无芯题型一 分蛋糕问题师生共研例1 问题提出妹妹小英过生日，妈妈给她做了一块边界形状任意的蛋糕(如图所示)，哥哥小明也想吃，小英指着蛋糕上一点对哥哥说，你能过这一点切一刀，让切下的两块蛋糕面积相等，便把其中的一块送给你如图1所示模型假设(1)假设蛋糕是平放在桌上的，即蛋糕表面与水平面是平行的(2)假设蛋糕的质地均匀，即蛋糕密度相同，形状为不规则柱形模型建立 模型求解
3、 模型结论 模型评价 模型建立 已知：平面上一条没有交叉点的封闭曲线(无论什么形状)P是曲线所围成的图形上一点(如图2)求证：存在一条过P的直线L，将这个图形的面积二等分模型求解 过P点任作一直线L，L将曲线所围图形分为两部分，其面积分别记为S1，S2.如果S1S2，则L即是所要找的直线现在，我们考虑S1S2的情形：不失一般性，设S1S2，首先，建立如图3的坐标轴：x轴设直线L与x轴的初始交角为0.(如图3)以点P为旋转中心，将直线L按逆时针方向旋转，则面积S1，S2就连续地依赖于角的变化即S1S1()，S2S2()都是关于的连续函数令f()S1()S2()，则函数f()是闭区间0，0上的连续
4、函数，并且f(0)S1(0)S2(0)0.f(0)S1(0)S2(0)S2(0)S1(0)1)块砖块后，再加一块砖块的叠放问题下面就n1(n1)块砖块的叠放问题来讨论，假设增加的一块砖块插入最底层，选择底层砖块的最右端为坐标原点建立如图坐标系，考虑上面的n块砖块的重心关系，把上面的n块砖块分成两面部分；从最高层开始的前n1块砖块，记它们的水平重心为x1，总质量为n1；与最底层砖块相连的第n块砖块，记它的水平重心为x2，质量为1.此外，把上面的n块砖块看做一个整体，并记它的重心水平坐标为 x，显然n块砖块的质量为n，那么，在保证平衡的前提下，上面n块砖块的水平重心应该恰好在最底层砖块的右端，即有
5、 x 0，假设第n块砖块超过最底层砖块右端的最大距离为z，同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n1的12，于是在上图的坐标下，第n块砖块的水平重心坐标为x2z 12，故由重心的关系，有xx1n1x21nzn1z12n0.z(n1)z12 0z 12n.于是，对3块砖块(即n2)的叠放有，第3块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸1214；对4块砖块(n3)的叠放有，第4块砖块的右端到第1块砖块的右端距离最远可以前伸121416；对n1块砖块的叠放，设从第n1块砖块的右端到第1块砖块的右端最远距离为dn1，则有dn11214 12n，所以当n时，有dn1，这说明随着砖块数量的无限增加，最顶层的砖块可以前伸到无限远的地方状元随笔 本题给出的启示是：当问题涉及较多对象时，对考虑的问题进行合理的分类往往使问题变得清晰，此外，一些看似不可能的事情其实并非不可能
