1、？6.3.5平面向量数量积的坐标表示？课标定位素养阐释1.能用坐标表示平面向量的数量积.2.会用坐标表示两个平面向量的夹角.3.能用坐标表示平面向量垂直的条件.4.发展直观想象和数学运算素养.自主预习新知导学合作探究释疑解惑易 错 辨 析随 堂 练 习？自主预习新知导学？一、平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示【问题思考】1.已知两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).(1)若i,j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的方向相同的单位向量,则a,b如何用i,j表示?提示:a=x1i+y1j,b=x2i+y2j.？(2)能否用a,b的坐标表示ab?怎样表示?提示:能,ab=(x1i+y1j)
2、(x2i+y2j)=x1x2i2+(x1y2+x2y1)ij+y1y2j2=x1x2+y1y2.(3)向量垂直与数量积的关系是什么?能用坐标表示向量垂直吗?提示:abab=0,能,x1x2+y1y2=0.？2.设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2).？3.做一做:(1)若向量a=(4,-2),b=(-1,-6),则ab=.(2)若向量a=(3,x),b=(2,-6),且ab,则x=.解析:(1)ab=4(-1)+(-2)(-6)=8.(2)因为ab,所以ab=0,即32+(-6)x=0,解得x=1.答案:(1)8(2)1？二、平面向量的模与夹角的坐标表示【问题思考】1.已知两个向量a=(
3、x1,y1),b=(x2,y2).|a|,|b|分别用坐标怎样表示?a,b的夹角能否用坐标表示?？2.？【思考辨析】判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”.(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab=x1y1+x2y2.()(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),且ab,则x1y1+x2y2=0.()(3)若ab=|a|b|,则a,b共线.()(4)若ab0,则a,b的夹角为锐角.()？合作探究释疑解惑探究一探究二探究三？探究一 数量积的坐标运算【例1】已知向量a=(-1,2),b=(3,2).(1)求a(a-b);(2)求(a+b)(2a-b);
4、(3)若c=(2,1),求(ab)c,a(bc).分析:根据坐标运算法则,结合数量积的运算律进行计算.？解:(1)方法一:a=(-1,2),b=(3,2),a-b=(-4,0).a(a-b)=(-1,2)(-4,0)=(-1)(-4)+20=4.方法二:a(a-b)=a2-ab=(-1)2+22-(-1)3+22=4.(2)a+b=(-1,2)+(3,2)=(2,4),2a-b=2(-1,2)-(3,2)=(-2,4)-(3,2)=(-5,2),(a+b)(2a-b)=(2,4)(-5,2)=2(-5)+42=-2.(3)(ab)c=(-1,2)(3,2)(2,1)=(-13+22)(2,1)
5、=(2,1).a(bc)=(-1,2)(3,2)(2,1)=(-1,2)(32+21)=8(-1,2)=(-8,16).？答案:5？向量的数量积运算(1)进行向量的数量积运算,前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算.(2)对于以图形为背景的向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形,那么一般选择坐标法.？答案:(1)B(2)2？探究二 向量垂直的坐标表示【例3】已知向量a=(1,2),b=(-3,
6、1),向量x=ka+b,y=a-3b.(1)求向量x,y的坐标;(2)若xy,求实数k的值.解:(1)因为a=(1,2),b=(-3,1),所以x=ka+b=k(1,2)+(-3,1)=(k-3,2k+1),y=a-3b=(1,2)-3(-3,1)=(10,-1).(2)因为xy,所以xy=0,即10(k-3)-(2k+1)=0,解得？已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),涉及非零向量a,b的垂直问题时,一般借助abab=x1x2+y1y2=0来解决.？探究三 向量的模和夹角的坐标表示【例4】已知向量a=(1,1),b=(-3,4).(1)求|a-b|的值;(2)求向量a与a-b夹角的余
7、弦值.分析:(1)先求a-b的坐标,再代入向量模的公式求解;(2)分别求出a(a-b),|a|,|a-b|,代入夹角公式求解.？【变式训练3】设a=(4,-3),b=(2,1),若a+tb与b的夹角为45,求实数t的值.？易 错 辨 析？提示:以上错解是思考不全面造成的.如当a与b同向,即a与b的夹角=0时,cos=10,此时=-2,显然是不合理的.正解:a与b的夹角为锐角,cos 0且cos 1,即ab0且a与b方向不能相同,即ab=1-20,且amb(m0),答案:A？对非零向量a与b,设其夹角为,则为锐角cos 0且cos 1 ab0且amb(m0);为钝角cos 0且cos-1ab0且
8、amb(m0);为直角cos=0ab=0.？【变式训练】设a=(2,x),b=(-4,5),若a与b的夹角为钝角,求x的取值范围.？随 堂 练 习？1.已知a=(0,1),b=(2,-1),则ab等于()A.1B.-1C.2D.-2解析:a=(0,1),b=(2,-1),ab=(0,1)(2,-1)=02+1(-1)=-1.答案:B2.已知向量a=(-5,6),b=(6,5),则a与b()A.垂直B.不垂直也不平行C.平行且同向D.平行且反向解析:ab=-56+65=0,ab.答案:A？解析:因为3b=3b+a-a=(5,4)-(2,1)=(3,3),所以b=(1,1),答案:D？4.已知a=(1,2),b=(-2,n),且ab,则|3a+b|=.解析:因为ab,所以-2+2n=0.得n=1,因此a=(1,2),b=(-2,1),？
