1、第二章矩阵2.2 矩阵的运算第二节 矩阵的运算一、一、矩阵的线性运算矩阵的线性运算二、二、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算三、三、矩阵的转置矩阵的转置四、四、对乘矩阵和反对矩阵对乘矩阵和反对矩阵五、五、小结小结思考题思考题一、线性运算：两个矩阵的行数和列数均相等时，称它们为同型矩阵。定义3如果两个矩阵是同型矩阵,且各对应元素也相同,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.定义4：两个矩阵的和记作,规定即：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行注:加法运算。例如记,称为的负矩阵，由此规定矩阵的减法为显然，数与矩阵的乘积记作或矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算。矩阵的线性运算的运算规律:令和是，为常数。阶
2、矩阵，二、矩阵与矩阵相乘与=一般地，有定义是一个一阶方阵，即一个数。注意：1.一个行矩阵与一个列矩阵的乘积2.例5 求矩阵与的乘积解：例6解：但是这正是矩阵与数的不同计算乘积显然这又是矩阵与数的不同请记住：2.不满足消去律；1.矩阵乘法不满足交换律；3.有非零的零因子。n元线性方程组例7矩阵表示矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，定义为A的 次幂,为正整数，。规定即易证阶方阵的次多项式为阶方阵其中为数，例8求解：三、矩阵的转置把的行与列依次互换得到另矩阵定义：矩阵，称为一个的转置矩阵，记作或例如证明：仅证(4)。是阶矩阵，是和都是矩阵。的第则行第列的元素都是的第行第列元素,，的第 行
3、第它是列的第元素是行的元素与第行的元素的对转置矩阵的运算性质一般地，应有应乘积之和。也就是的第 列元素与的第 行的此二元素相等，故元素的对应乘积之和。它也是例9已知解法1解法2四、对称与反对称矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即.则称为对称阵例如对称轴为对称阵。说明 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.例9设列矩阵满足为阶单位阵。证明是对称矩阵，且。证明：注意：是一阶方阵，也就是一个数，而是阶方阵。五、小结五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称矩阵前提条件？前提条件？与行列式的数乘运算区别?思考题证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和。思考题解答证明所以C为对称矩阵.所以B为反对称矩阵.证毕思考题解答矩阵与行列式有本质的区别，行列式行列数必相同。行列式可展开为代数式，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。
