1、2.4.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质图形标准方程焦点坐标准线方程类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考】1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（重点）2能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点）3在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化.抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质.探究点1 抛物线的简单几何性质1.范围因为p0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M(x，y)，x0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
2、相同;当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸2.对称性以y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称.我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴3.顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点4.离心率抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示由抛物线的定义可知，e=1xyOFABy2=2px2p过焦点而垂直于对称轴的弦AB，称为抛物线的通径.利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径连接抛物
3、线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：xyOFP6.焦半径方程图形范围对称性顶点离心率y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0yRx0yRxRy0y0 xRlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；(4)抛物线的离心率e是确定的，为;(5)抛物线的通径为2p,2p越大，抛物线的张口越大.【提升总
4、结】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（，），所以，可设它的标准方程为因为点M在抛物线上，所以因此,所求抛物线的标准方程是【例】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，并且经过点M（，），求它的标准方程.即p=2.分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出AB.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法数形结合的方法.xyOFABBA题点线lxyOFABBA还可以如何求x1+x2?分析：运用抛物线的定义和平面几何知识
5、来证比较简捷如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EHl，因而圆E和准线l相切证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则AFAD，BFBCABAFBFADBC=2EH 2.已知点A（-2，3）与抛物线的焦点的距离是5，则p=.43.已知直线x-y=2与抛物线交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是.4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置.xyO(40,30)所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的顶点与原点重合,x轴垂直于灯口直径.解：在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px（p0），由条件可得A(40,30),代入方程得:302=2p40解得:p=故所求抛物线的标准方程为:y2=x,焦点为(,0)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于.抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；1.范围：2.对称性：3.顶点：4.离心率：目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.
