1、第25课时万有引力定律及应用(重点突破课)必备知识1开普勒行星运动定律(1)开普勒第一定律(轨道定律)：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)开普勒第二定律(面积定律)：对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等。(3)开普勒第三定律(周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。2万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。(2)公式：FG，其中G6.671011 Nm2/kg2，叫万有引力常量。(3)
2、适用条件公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r为两物体间的距离。3经典时空观和相对论时空观(1)经典时空观物体的质量不随速度的变化而变化。同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果相同。适用条件：宏观物体、低速运动。(2)相对论时空观同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。小题热身1判断正误(1)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小。()(2)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律。()(3)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心。()(4)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于
3、无穷大。()2(2016全国丙卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析：选B开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。 3(多选)1798年，英国物理学家卡文迪许测出引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能
4、称出地球质量的人。若已知引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2。你能计算出( )A地球的质量m地B太阳的质量m太C月球的质量m月 D可求月球、地球及太阳的密度解析：选AB对地球表面的一个物体m0来说，应有m0g，所以地球质量m地，选项A正确。对地球绕太阳运动来说，有m地L2，则m太，B项正确。对月球绕地球运动来说，能求地球的质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星的运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误。提能点(一)开普勒行星运动定律典例(201
5、7吉林一中一模)将火星和地球绕太阳的运动近似看成是同一平面内的同方向绕行的匀速圆周运动，已知火星的轨道半径r12.31011 m，地球的轨道半径为r21.51011 m，根据你所掌握的物理和天文知识，估算出火星与地球相邻两次距离最小的时间间隔约为( )A1年B2年C3年 D4年解析根据开普勒第三定律k得：火星与地球的周期之比为 1.9地球的周期为T21年，则火星的周期为T11.9年设经时间t两星又一次距离最近，根据 t则两星转过的角度之差t2得t2.1年2年。故选B。答案B(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理。(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。(3)开普勒
6、第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。 集训冲关1(2013江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知()A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析：选C由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A项错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B项错误；由开普勒第三定律可知，k，C项正确；由于火星和木星在
7、不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，在近地点时v火t与v木t不相等，D项错误。2.(多选)(2017广州二模)如图所示，近地人造卫星和月球绕地球的运行轨道可视为圆。设卫星、月球绕地球运行周期分别为T卫、T月，地球自转周期为T地，则( )AT卫T月 BT卫T月CT卫T地 DT卫T地解析：选AC因r月r同r卫，由开普勒第三定律k可知，T月T同T卫，又同步卫星的周期T同T地，故有T月T地T卫，选项A、C正确。提能点(二)万有引力定律的理解与应用万有引力的四个性质普遍性万有引力不仅存在于太阳与行星、地球与月球之间，宇宙间任何两个有质量的物体之间都存在着这种相互吸引的力相互性两个有质量的物体之间
8、的万有引力是一对作用力和反作用力，总是满足大小相等，方向相反，作用在两个物体上宏观性在地面上的一般物体之间，由于质量比较小，物体间的万有引力比较小，与其他力比较可忽略不计，但在质量巨大的天体之间，或天体与其附近的物体之间，万有引力起着决定性作用特殊性两个物体之间的万有引力只与它们本身的质量和它们间的距离有关，而与其所在空间的性质无关，也与周围是否存在其他物体无关典例两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的作用力为( )A2F B4FC8F D16F解析由m知，两球的半径都加倍，它们的质量都变为原来的8倍，由万有引力公式F
9、G得，两物体间的万有引力变为原来的16倍，故D正确。答案D万有引力大小计算的技巧(1)公式FG适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。(2)当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线。集训冲关1(多选)要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可行的是( )A使物体的质量各减小一半，距离不变B使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变C使两物体间的距离增为原来的2倍，质量不变D使两物体间的距离和质量都减为原来的解析：选ABC根据FG可知，距离和质量都减为原来的时，万有引力不变，D错误，A、B、C正确。2(多选)用m
10、表示地球的通信卫星(同步卫星)的质量，h表示离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，表示地球自转的角速度，则通信卫星所受的地球对它的万有引力的大小为( )AG B.Cm2(Rh) Dm解析：选BCD由万有引力定律得FG地球表面的重力加速度gG由式得F万有引力充当向心力Fm2(Rh)联立消掉(Rh)得F3m3R2g4，由此得Fm，故B、C、D正确。3.如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为2R，如果从球的正中心挖去一个半径为R的球，放在距离为d的地方，求两球之间的万有引力是多大(引力常量为G)?解析：根据割补法可得左侧球充满时两球间万有引力FG半径为R的球体对m有F1被
11、挖去的球体质量m。则被挖去两球之间的引力F2FF1。答案：提能点(三)天体质量与密度的估算“自力更生”法(gR)(1)由Gmg得天体质量M。(2)天体密度。(3)GMgR2称为黄金代换公式。 例1(2014全国卷)假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为()A. B.C. D.解析物体在地球的两极时，mg0G，物体在赤道上时，mgm2RG，以上两式联立解得地球的密度。故选项B正确，选项A、C、D错误。答案B“借助外援”法(Tr)(1)由Gm 得天体的质量M。(2)天体的密度。(3)当卫星绕天体表
12、面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。例2(2013全国卷)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G6.671011 Nm2/kg2，月球半径约为1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为()A8.11010 kg B7.41013 kgC5.41019 kg D7.41022 kg解析对“嫦娥一号”探月卫星，由于万有引力提供其做圆周运动的向心力，则Gm(Rh)，整理得：M(Rh)3，代入数据可得M7.41022kg
13、，则D正确。答案D(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有rR；计算天体密度时，体积VR3只能用天体自身的半径。集训冲关1(多选)(2016海南高考)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是()A卫星的速度和角速度B卫星的质量和轨道半径C卫星的质量和角速度 D卫星的运行周期和轨道半径解析：选AD根据线速度和角速度可以求出半径r，根据万有引力提供向心力
14、，则有Gm，整理可得M，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若知道卫星的运行周期和轨道半径，则Gm2r，整理得M，故选项D正确。 2.(多选)公元2100年，航天员准备登陆木星，为了更准确了解木星的一些信息，到木星之前做一些科学实验，当到达与木星表面相对静止时，航天员对木星表面发射一束激光，经过时间t收到激光传回的信号，测得相邻两次看到日出的时间间隔是T，测得航天员所在航天器的速度为v，已知引力常量G，激光的速度为c，则( )A木星的质量MB木星的质量MC木星的质量MD根据题目所给条件，可以求出木星的密度解析：选AD航天器的轨道半径r，木星的半径R，木星的质量M；知道木星的
15、质量和半径，可以求出木星的密度，故A、D正确，B、C错误。3(2017高密模拟)据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的6.4倍，半径约为地球半径的2倍。那么，一个在地球表面能举起64 kg物体的人在这个行星表面能举起的物体的质量约为多少(地球表面重力加速度g10 m/s2)( )A40 kgB50 kgC60 kg D30 kg解析：选A根据万有引力等于重力Gmg得g，因为行星质量约为地球质量的6.4倍，其半径是地球半径的2倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为：m
16、 kg40 kg，故A正确。提能点(四)与重力加速度有关的问题1.在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)：mgG，得g2在地球上空距离地心rRh处的重力加速度为gmg，得g所以考法1天体表面某高度处的重力加速度问题例1(2015重庆高考)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A0 B.C. D.解析飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即Gmg，得g，选项B正确。答案B考法2天体表面某深度处的重力加速度问题例2假设地球是一半径为R
17、、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A1 B1C.2 D.2解析如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mgG；设矿井底部处的重力加速度为g，等效“地球”的质量为M，其半径rRd，则矿井底部处的物体m受到的重力mgG，又MVR3，MV(Rd)3，联立解得1，A对。答案A考法3天体表面重力加速度与抛体运动的综合例3(2015海南高考)若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度
18、处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为( )A.R B.RC2R D.R解析平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即xv0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h gt2，所以xv0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度相同，所以，根据公式Gmg可得g，故，解得R行2R，故C正确。答案C通法归纳地球表面的物体运动规律的迁移应用在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已。
19、集训冲关1(2017潍坊模拟)宇航员在地球上的水平地面将一小球水平抛出，使小球产生一定的水平位移，当他登陆一半径为地球半径2倍的星球后，站在该星球水平地面上以和在地球完全相同的方式水平抛出小球，测得小球的水平位移大约是在地球上平抛时的4倍，由此宇航员估算该星球的质量M星约为(式中M为地球的质量)( )AM星M BM星2MCM星M DM星4M解析：选C根据平抛规律可计算星球表面加速度，竖直方向hgt2，水平方向xvt，可得g星 g地，根据星球表面万有引力公式Gmg星，R星2R地，可得M星，C正确。2宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原地。若他在某星球表面以相同的初速度
20、竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。已知该星球的半径与地球半径之比为R星R地14，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g，空气阻力不计。则( )Agg51 Bgg52CM星M地120 DM星M地180解析：选D由速度对称性知竖直上抛的小球在空中运动时间t，因此得，A、B错误；由Gmg得M，因而2，C错误，D正确。3有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的(忽略其自转影响)( )A. B4倍C16倍 D64倍解析：选D天体表面的重力加速度g，又知，所以M，故364。一、单项选择题1关于行星运动定律和
21、万有引力定律的建立过程，下列说法正确的是( )A第谷通过整理大量的天文观测数据得到行星运动规律B开普勒指出，地球绕太阳运动是因为受到来自太阳的引力C牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地球赤道上物体随地球自转的向心加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”D卡文迪许在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量的数值解析：选D开普勒对天体的运行做了多年的研究，最终得出了行星运行三大定律，故A错误；牛顿认为行星绕太阳运动是因为受到太阳的引力作用，引力大小与行星到太阳的距离的二次方成反比，故B错误；牛顿通过比较月球公转的向心加速度和地面附近的自由落体加速度，对万有引力定律进行了“月地检验”，
22、故C错误；牛顿发现了万有引力定律之后，第一次通过实验准确地测出引力常量的科学家是卡文迪许，故D正确。2下列说法正确的是( )A牛顿运动定律就是经典力学B经典力学的基础是牛顿运动定律C牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题D经典力学可以解决自然界中所有的问题解析：选B经典力学并不等于牛顿运动定律，牛顿运动定律只是经典力学的基础，经典力学并非万能，也有其适用范围，并不能解决自然界中所有的问题，没有哪个理论可以解决自然界中所有的问题。因此只有搞清牛顿运动定律和经典力学的隶属关系，明确经典力学的适用范围，才能正确解决此类问题。3(2013福建高考)设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半
23、径为r的圆。已知万有引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足()AGMBGMCGM D. GM解析：选A由万有引力提供向心力可知，Gmr，对比各选项可知选A。4(2017南通质检)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为h的圆形轨道上运行，运行周期为T。已知引力常量为G，月球的半径为R。利用以上数据估算月球质量的表达式为( )A. B.C. D.解析：选D“嫦娥一号”绕月球做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得Gm，解得月球的质量为M，选项D正确。5(2015江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序
24、幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为()A. B1C5 D10解析：选B行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得Gmr，则32321，选项B正确。6海王星有13颗已知的天然卫星。现认为“海卫二”绕海王星沿圆轨道匀速运转，已知“海卫二”的质量为2.01019 kg，轨道半径为5.5106 km，运行的周期为360天，引力常量G6.671011 Nm2/kg2。则海王星的质量大约为( )A1.01017 kg B1.01026 kgC2.01011 kg D2.01019 kg解析
25、：选B万有引力提供向心力，因已知周期，且F万F向，故可知Gmr，解得M，代入数据得M1.01026 kg，B正确。7一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )A. B. C. D.解析：选B设卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，得Gmmmg由已知条件Nmg得g代入得R代入得M，故B正确。8(2014浙江高考)长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r119 600 km，公转周期T16.39天。2006年
26、3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r248 000 km，则它的公转周期T2最接近于()A15天 B25天C35天 D45天解析：选B由开普勒第三定律可得，解得T2T16.39 24.5(天)，故选B。本题也可利用万有引力定律对“卡戎星”和小卫星分别列方程，联立方程组求解。二、多项选择题9(2017武汉调研)“超级地球”是指围绕恒星公转的类地行星。科学家们发现有3颗不同质量的“超级地球”环绕一颗体积比太阳略小的恒星公转，公转周期分别为4天、10天和20天。根据上述信息可以计算( )A3颗“超级地球”运动的线速度之比B3颗“超级地球”运动的向心加速度之比C3颗“超级地
27、球”所受的引力之比D该恒星的质量解析：选AB设恒星质量为M，因万有引力提供向心力，则有Gmm2rmr，可得：运动的线速度v ，向心加速度a2rvv，已知公转周期T，故可以计算3颗“超级地球”运动的线速度之比和向心加速度之比，则选项A、B正确；根据万有引力公式FG和恒星的质量表达式M，可知不能计算3颗“超级地球”所受的引力之比和该恒星的质量，则选项C、D错误。10(2017山西大学附中月考)已知下面的哪组数据，可以算出地球的质量M(已知引力常量G)( )A地球绕太阳运行的周期T1及地球到太阳中心的距离R1B月球绕地球运行的周期T2及月球到地球中心的距离R2C地球绕太阳运行的速度v3及地球到太阳中
28、心的距离R3D人造卫星在地面附近的运行速度v4和运行周期T4解析：选BD根据万有引力提供圆周运动的向心力，可以求出中心天体太阳的质量而不可以求出环绕天体地球的质量，故A、C错误；月球绕地球做圆周运动，万有引力提供圆周运动的向心力，则Gm月R2，可以求出中心天体地球的质量，故B正确；已知人造地球卫星在地面附近运行的速度和运行周期，根据v4可得轨道半径，根据Gm可得地球质量，故D正确。11(2017武汉质检)为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国发射了一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽
29、略火星的自转影响，引力常量为G。仅利用以上数据，可以计算出( )A火星的质量 B“萤火一号”的质量C火星对“萤火一号”的引力 D火星表面的重力加速度解析：选AD“萤火一号”在两个不同圆轨道上运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm(Rh1)，Gm(Rh2)，联立以上两式可求得火星的质量和半径，但无法求解“萤火一号”的质量，选项A正确，B错误；由于“萤火一号”的质量未知，故无法求解火星对“萤火一号”的引力，选项C错误；在火星表面有Gmg，解得g，选项D正确。12为了实现人类登陆火星的梦想，我国宇航员王跃曾与俄罗斯宇航员一起进行“模拟登火星”实验活动。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，
30、自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是g，若王跃在地面上能向上跳起的最大高度是h，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是( )A王跃在火星表面受到的万有引力是在地球表面受到的万有引力的B火星表面的重力加速度是gC王跃以相同的初速度在火星上起跳时，在空中的时间为在地球上的 倍D王跃以相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度是h解析：选AC当宇航员在地球表面时，根据万有引力定律可得 F万Gmg，同理可得宇航员在火星表面时F万Gmg，所以其在火星表面受的万有引力是在地球表面所受万有引力的，A项正确；火星表面的重力加速度gg，B项错误；由t火 和t地 可知，t火t地，C正确；由0v22gh可得以
31、相同的初速度在火星上起跳时，可跳的最大高度hhh，D项错误。13(2017西安模拟)欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用m表示它的质量，h表示它在近月点的高度，表示它在近月点的角速度，a表示它在近月点的加速度，R表示月球的半径，g表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能1号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )Ama BmCm(Rh)2 Dm解析：选AB“智能1号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得Fma，A正确；由万有引力定律得FG，又月球表面上，Gmg，解得Fm，B正确；由于“智能1号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲率圆半径不是Rh，C、D错误。14银河系处于本超星系团的边缘。已知银河系距离星系团中心约2亿光年，绕星系团中心运行的公转周期约1 000亿年，引力常量G6.671011 Nm2/kg2，根据上述数据可估算( )A银河系绕本超星系团中心运动的线速度B银河系绕本超星系团中心运动的加速度C银河系的质量D银河系与本超星系团之间的万有引力解析：选AB据题意可知银河系绕星系团做圆周运动，已知轨道半径r和周期T，则银河系运动的线速度v，加速度a，故A、B正确；银河系是环绕天体，无法计算其质量，故C错误；由于不知道银河系的质量，故无法求解银河系与本超星系团之间的万有引力，故D错误。
