1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义问题提出 1.向量的模和夹角分别是什么概念？当两个向量的夹角分别为0，90，180时，这两个向量的位置关系如何？2.任意两个向量都可以进行加、减运算，同时两个向量的和与差仍是一个向量，并且向量的加法运算满足交换律和结合律.由于任意两个实数可以进行乘法运算，我们自然会提出，任意两个向量是否也可以进行乘法运算呢？对此，我们从理论上进行相应分析.探究（一）:平面向量数量积的背景与含义WFscos思考2：功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么？
2、思考1：如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为，那么力F所做的功W是多少？sF思考3：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，把a|bcos叫做a与b的数量积（或内积），记作ab，即ab=a|bcos.那么ab的运算结果是向量还是数量？思考4：特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？0a=0思考5：对于两个非零向量a与b，其数量积ab何时为正数？何时为负数？何时为零？当090时，ab0；当90180时，ab0；当90时，ab0.ab=a|bcos思考6：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，那么acos的几何意义如何？abOABA1思考7：对于两个非零向量a与b，设其夹角为，
3、acos叫做向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a方向上的投影是什么？不一定；bcos.|a|cos思考8：根据投影的概念，数量积ab=a|bcos的几何意义如何？数量积ab等于a的模与b在a方向上的投影bcos的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影acos的乘积，探究（二）：平面向量数量积的运算性质思考1：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？abab0思考2：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab；aaa2a2或a.思考3：ab与ab的大小关系如何？为什么
4、？abab思考4：ab与ba是什么关系？为什么？abba思考5：对于实数，(a)b有意义吗？它可以转化为哪些运算？(a)b(ab)a(b)思考6：对于向量a，b，c，(ab)c有意义吗？它与acbc相等吗？为什么？A1B1ABOCabcab12思考7：对于非零向量a，b，c，(ab)c有意义吗？(ab)c与a(bc)相等吗？为什么？(ab)ca(bc)思考8：对于非零向量a，b，c，若abac，那么 bc吗？思考9：对于向量a，b，等式(ab)2a22abb2和(ab)(ab)a2b2是否成立？为什么？思考10：对于向量a，b，如何求它们的夹角？理论迁移例1 已知a5，b4，a与b的夹角为12
5、0，求ab.10例2 已知a6，b4，a与b的夹角为60，求(a2b)(a3b).72 例3 已知a3，b4，且a与b不共线.求当k为何值时，向量akb与akb互相垂直？小结作业1.向量的数量积是一种向量的乘法运算，它与向量的加法、减法、数乘运算一样，也有明显的物理背景和几何意义，同时还有一系列的运算性质，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.2.实数的运算性质与向量的运算性质不完全一致，应用时不要似是而非.3.利用a可以求向量的模，在字符运算中是一种常用方法.4.利用向量的数量积可以解决有关平行、垂直、夹角、距离、不等式等问题，它是一个工具性知识点，具有很强的功能作用.作业：P108 习题2.4A组：1，2，3，6，7，8.
