1、第4讲不等式选讲1.(2016江苏)设a0,|y2|,求证:|2xy4|a.证明由a0,|x1|可得|2x2|,又|y2|,|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.2.(2016课标全国乙)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象;(2)求不等式|f(x)|1的解集.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象,当f(x)1时,可得x1或x3;当f(x)1时,可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3;f(x)1的解集为.3.(2016课标全国甲)已知函数f(x),M为不等式f(x)2的解集.(1)求M;(2)
2、证明:当a,bM时,|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时,由f(x)2得2x1,所以1x;当x时,f(x)2;当x时,由f(x)2得2x2,解得x1,所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知,当a,bM时,1a1,1b1,从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0,即(ab)2(1ab)2,所以|ab|a(a0)f(x)a或f(x)a;(2)|f(x)|0)af(x)a;(3)对形如|xa|xb|c,|xa|xb|c的不等式,可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1已知函数f(x)|xa|,其中a1.(1)当a2时,求不等式f(x)4|x4|的
3、解集;(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2,求a的值.解(1)当a2时,f(x)|x4|当x2时,由f(x)4|x4|得2x64,解得x1;当2x4时,f(x)4|x4|无解;当x4时,由f(x)4|x4|得2x64,解得x5;所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)f(2xa)2f(x),则h(x)由|h(x)|2,解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2,所以于是a3.思维升华(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤:求零点;划区间、去绝对值号;分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用
4、图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式,使得代数问题几何化,既通俗易懂,又简洁直观,是一种较好的方法.跟踪演练1已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明:3f(x)3;(2)求不等式f(x)x28x15的解集.(1)证明f(x)|x2|x5|当2x5时,32x73.所以3f(x)3.(2)解由(1)可知,当x2时,f(x)x28x15的解集为空集;当2x5时,f(x)x28x15的解集为x|5xy.求证:2x2y3.(2)已知实数x,y满足:|xy|,|2xy|,求证:|y|0,y0,xy0,2x2y2(xy)(xy)(xy)当且仅当xy1时“”成立.33.所以2x2y3.(2)因为3
5、|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|,由题设知|xy|,|2xy|,所以3|y|,所以|y|1.证明(1)当|ab|0时,不等式显然成立.当|ab|0时,由01,所以1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2b2)(c2d2)(acbd)2,当且仅当adbc时等号成立.(2)设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2,当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,n)时,等号成立.例3(2015福建)已知a0,b0,c0,函数f(
6、x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值;(2)求a2b2c2的最小值.解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c,当且仅当axb时,等号成立.又a0,b0,所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4,所以abc4.(2)由(1)知abc4,由柯西不等式得(491)2(abc)216,即a2b2c2.当且仅当,即a,b,c时等号成立.故a2b2c2的最小值为.思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形,化为符合它的结构形式,当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时,就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等
7、式求最值的一般结构为(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时,要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.跟踪演练3已知正实数a,b,c,d满足abcd1.求证:2.证明因为()24(12a12b12c12d),又abcd1,所以()224,即2.1.解不等式|x3|2x1|1.解当x3时,原不等式转化为(x3)(12x)1,解得x10,x3.当3x时,原不等式转化为(x3)(12x)1,解得x,3x.当x时,原不等式转化为(x3)(2x1)2,x2.综上可知,原不等式的解集为x|x2.2.设a,b,c均为正实数,试证明不等式,并说明等号成立的条件.解因为a,b,c均为正实数,所以,当且
8、仅当ab时等号成立;,当且仅当bc时等号成立;,当且仅当ac时等号成立.三个不等式相加,得,当且仅当abc时等号成立.3.若a、b、c均为实数,且ax22y,by22z,cz22x.求证:a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0,即a0,b0,c0,所以abc0.而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0,这与abc0矛盾,故a、b、c中至少有一个大于0.A组专题通关1.如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集,求实数a的取值范围.解设y|x3|x4|,则y的图象如图所示.若|x3|x
9、4|a的解集不是空集,则(|x3|x4|)min1时,不等式的解集不是空集.即实数a的取值范围是(1,).2.实数x,y,z满足x0,y0,z0,求证:.证明x0,y0,z0,当且仅当xyz1时,不等式等号成立.三个不等式相加可得.3.若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,求实数a的取值范围.解设y|2x1|x2|当x5;当2x;当x时,y3x1,故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立,所以a2a2.解不等式a2a2,得1a,故a的取值范围为1,.4.已知正数x,y,z满足x2y3z1,求的最小值.解()(x2y3z)149142
10、2236,(当且仅当xyz时等号成立)所以的最小值为36.5.设函数f(x)|x|xa|(a0).(1)证明:f(x)2;(2)若f(3)0,有f(x)|x|xa|x(xa)|a2,所以f(x)2.(2)解f(3)|3|3a|.当a3时,f(3)a,由f(3)5,得3a.当0a3时,f(3)6a,由f(3)5,得|x1|成立,求实数x的取值范围.解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2,即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26,66(a2b3c)2,6a2b3c6.存在实数a,b,c,使得不等式a2b3c|x1|成立.|x1|6,7x5.x的取
11、值范围是x|7x5.B组能力提高7.已知f(x)|x1|x1|,不等式f(x)4的解集为M.(1)求M;(2)当a,bM时,证明:2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时,由2x4,得2x1;当1x1时,f(x)21时,由2x4,得1x2.综上可得2x2,即M(2,2).(2)证明a,bM,即2a2,2b2,4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0,4(ab)2(4ab)2,2|ab|0.(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.解(1)当a1时,f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时,不等式化为x40,无解;当1x0,解得x0,解得1x1的解集为.(2)由题设可得,f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a1,0),C(a,a1),ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26,故a2.所以a的取值范围为(2,).