1、第4讲不等式选讲1.(2016江苏)设a0，|y2|，求证：|2xy4|a.证明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.即|2xy4|a.2.(2016课标全国乙)已知函数f(x)|x1|2x3|.(1)在图中画出yf(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集.解(1)f(x)yf(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.3.(2016课标全国甲)已知函数f(x)，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)
2、证明：当a，bM时，|ab|1ab|.(1)解f(x)当x时，由f(x)2得2x1，所以1x；当x时，f(x)2；当x时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以x1.所以f(x)2的解集Mx|1x1.(2)证明由(1)知，当a，bM时，1a1，1b1，从而(ab)2(1ab)2a2b2a2b21(a21)(1b2)0，即(ab)2(1ab)2，所以|ab|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)a；(3)对形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解.例1已知函数f(x)|xa|，其中a1.(1)当a2时，求不等式f(x)4|x4|的
3、解集；(2)已知关于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集为x|1x2，求a的值.解(1)当a2时，f(x)|x4|当x2时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；当2x4时，f(x)4|x4|无解；当x4时，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集为x|x1或x5.(2)记h(x)f(2xa)2f(x)，则h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集为x|1x2，所以于是a3.思维升华(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：求零点；划区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用
4、图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.跟踪演练1已知函数f(x)|x2|x5|.(1)证明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集.(1)证明f(x)|x2|x5|当2x5时，32x73.所以3f(x)3.(2)解由(1)可知，当x2时，f(x)x28x15的解集为空集；当2x5时，f(x)x28x15的解集为x|5xy.求证：2x2y3.(2)已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)当且仅当xy1时“”成立.33.所以2x2y3.(2)因为3
5、|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，所以3|y|，所以|y|1.证明(1)当|ab|0时，不等式显然成立.当|ab|0时，由01，所以1.热点三柯西不等式的应用柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立.(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立.例3(2015福建)已知a0，b0，c0，函数f(
6、x)|xa|xb|c的最小值为4.(1)求abc的值；(2)求a2b2c2的最小值.解(1)因为f(x)|xa|xb|c|(xa)(xb)|c|ab|c，当且仅当axb时，等号成立.又a0，b0，所以|ab|ab.所以f(x)的最小值为abc.又已知f(x)的最小值为4，所以abc4.(2)由(1)知abc4，由柯西不等式得(491)2(abc)216，即a2b2c2.当且仅当，即a，b，c时等号成立.故a2b2c2的最小值为.思维升华(1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等
7、式求最值的一般结构为(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件.跟踪演练3已知正实数a，b，c，d满足abcd1.求证：2.证明因为()24(12a12b12c12d)，又abcd1，所以()224，即2.1.解不等式|x3|2x1|1.解当x3时，原不等式转化为(x3)(12x)1，解得x10，x3.当3x时，原不等式转化为(x3)(12x)1，解得x，3x.当x时，原不等式转化为(x3)(2x1)2，x2.综上可知，原不等式的解集为x|x2.2.设a，b，c均为正实数，试证明不等式，并说明等号成立的条件.解因为a，b，c均为正实数，所以，当且
8、仅当ab时等号成立；，当且仅当bc时等号成立；，当且仅当ac时等号成立.三个不等式相加，得，当且仅当abc时等号成立.3.若a、b、c均为实数，且ax22y，by22z，cz22x.求证：a、b、c中至少有一个大于0.证明假设a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22y)(y22z)(z22x)(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc0，这与abc0矛盾，故a、b、c中至少有一个大于0.A组专题通关1.如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集不是空集，求实数a的取值范围.解设y|x3|x4|，则y的图象如图所示.若|x3|x
9、4|a的解集不是空集，则(|x3|x4|)min1时，不等式的解集不是空集.即实数a的取值范围是(1，).2.实数x，y，z满足x0，y0，z0，求证：.证明x0，y0，z0，当且仅当xyz1时，不等式等号成立.三个不等式相加可得.3.若不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.解设y|2x1|x2|当x5；当2x；当x时，y3x1，故函数y|2x1|x2|的最小值为.因为不等式|2x1|x2|a2a2对任意实数x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范围为1，.4.已知正数x，y，z满足x2y3z1，求的最小值.解()(x2y3z)149142
10、2236，(当且仅当xyz时等号成立)所以的最小值为36.5.设函数f(x)|x|xa|(a0).(1)证明：f(x)2；(2)若f(3)0，有f(x)|x|xa|x(xa)|a2，所以f(x)2.(2)解f(3)|3|3a|.当a3时，f(3)a，由f(3)5，得3a.当0a3时，f(3)6a，由f(3)5，得|x1|成立，求实数x的取值范围.解由柯西不等式知12()2()2a2(b)2(c)2(1abc)2，即6(a22b23c2) (a2b3c)2.又a22b23c26，66(a2b3c)2，6a2b3c6.存在实数a，b，c，使得不等式a2b3c|x1|成立.|x1|6，7x5.x的取
11、值范围是x|7x5.B组能力提高7.已知f(x)|x1|x1|，不等式f(x)4的解集为M.(1)求M；(2)当a，bM时，证明：2|ab|4ab|.(1)解f(x)|x1|x1|当x1时，由2x4，得2x1；当1x1时，f(x)21时，由2x4，得1x2.综上可得2x2，即M(2,2).(2)证明a，bM，即2a2，2b2，4(ab)2(4ab)24(a22abb2)(168aba2b2)(a24)(4b2)0，4(ab)2(4ab)2，2|ab|0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面积为(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).