1、4.2.3 直线与圆的方程的应用类型 一直线与圆的方程的实际应用尝试解答下列直线与圆的方程的应用问题,试总结解直线与圆的方程的实际应用问题的一般步骤.1.(2013成都高一检测)如图所示,一座圆拱桥,当水面在某位置时,拱顶离水面2m,水面宽12m,当水面下降1m后,水面宽为m.2.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处,受影响的范围是半径为30km的圆形区域.(假设台风中心不动)已知港口位于台风中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响?【解题指南】1.解答本题可先建立适当的坐标系求出圆拱桥所在圆的标准方程,然后结合图形
2、求出水面下降1m后的水面宽度.2.建立适当的坐标系,求出受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程及轮船航线所在直线l的方程,然后借助直线与圆的位置关系判断轮船是否会受到台风的影响.【解析】1.如图所示,以圆拱拱顶为坐标原点,以过拱顶的竖直直线为y轴,建立直角坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2).设圆的半径为r,则C(0,-r),即圆的方程为x2+(y+r)2=r2.将点A的坐标(6,-2)代入方程,解得r=10.所以圆的方程为x2+(y+10)2=100.当水面下降1m后,可设点A的坐标为(x0,-3)(x00),将A的坐标(x0,-3)代入方程
3、,求得x0=.所以,水面下降1m后,水面宽为2x0=2 (m).答案：22.如图所示，以台风中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图所示的坐标系，其中，取10 km为1个长度单位，这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2+y2=9.轮船航线所在直线l的方程为4x+7y-28=0，问题转化为圆O与直线l有无公共点问题，由于所以这艘轮船不改变航线时，不会受到台风的影响.【互动探究】题1中,条件不变,试求水面上升1m后,水面的宽.【解析】如图所示,以圆拱顶为原点建立如图所示的坐标系,设圆心为C,水面所在弦的端点为A,B,则由已知得A(6,-2),B(-6,-2),设圆的半径为r,则C(0,-r
4、).即圆的方程为x2+(y+r)2=r2,将点A的坐标(6,-2)代入方程得r=10,所以圆的方程为x2+(y+10)2=100当水面上升1m后,可设A的坐标为(x0,-1)(x00),将A的坐标代入方程得x0=,故水面上升1m后,水面宽为2x0=2 (m).【技法点拨】求解直线与圆的方程的实际应用问题的一般解题步骤(1)认真审题,明确题意.(2)建立平面直角坐标系,用方程表示直线和圆,从而在实际问题中建立直线与圆的方程.(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题.(4)把代数结果还原为实际问题的解.提醒：直线与圆的方程应用的关注点建立不同的坐标系,对解决问题有直接影响.建系时一般将圆心放在坐
5、标原点或坐标轴上,方程较简单.【变式训练】一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车厢厢顶距离地面的高度不得超过()A.1.4米B.3.0米C.3.6米D.4.5米【解析】选C.如图所示,当OC=2.7米时,=3.6(米).即此时即为平顶车厢厢顶距离地面的最高高度,即不得超过3.6米.类型 二坐标法在平面几何中的应用试着解答下列题目,体会用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要任务.1.如图所示,在圆O上任取C点为圆心,作一圆与圆O的直径AB相切于点D,圆C与圆O交于点E,F,求证：EF平分CD.2.已知RtABC的斜边BC为定长2m,以斜
6、边的中点O为圆心作直径为定长2n(nm)的圆,直线BC交此圆于P,Q两点,求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.【解题指南】1.由题意建立平面直角坐标系,将平面几何问题转化为解析几何知识求解.2.以O为坐标原点,BC所在直线为x轴建立坐标系,由题意求出有关点的坐标并借助两点间距离公式,证明其为定值.【证明】1.取圆O的直径AB所在直线为x轴,圆心O为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,设圆O的方程为x2+y2=1,EF与CD相交于H，令C(x1,y1),则可得圆C的方程(x-x1)2+(y-y1)2=，即=0,-得 ，式就是直线EF的方程，设CD的中点为H,其坐标为(x1,),将
7、H代入式，得即H在直线EF上，所以EF平分CD.2.如图，以O为原点，以直线BC为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则B(-m,0),C(m,0),P(-n,0),Q(n,0).设A(x,y)，因为|OA|=|BC|=|m|=m，所以点A在圆x2+y2=m2(除B,C两点)上,所以|AP|2+|AQ|2+|PQ|2=(x+n)2+y2+(x-n)2+y2+(2n)2=2x2+2y2+6n2=2m2+6n2(定值).【技法点拨】用坐标法解决平面几何问题的基本思想及首要任务(1)用坐标法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题,而建立它们联系的主要工具就是平面直角坐标系
8、.(2)首要任务是：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示相应的几何元素将平面几何问题转化为代数问题.【拓展延伸】建立直角坐标系应遵循的一般原则(1)原点取在定点,坐标轴取定直线或定线段所在的直线或图形的对称轴.(2)尽量利用图形的对称性.(3)设出所需点的坐标时,能使所用的字母尽量少.用坐标法证题时,不能把一般情况视为特殊情况.【变式训练】街头有一片绿地,绿地如图所示(单位：m),其中ABC为圆弧,求此绿地面积.【解题指南】以O为原点建立直角坐标系,求出A,B,C三点所在圆的方程,将图形分割为梯形和一弓形,然后分别求其面积.【解析】如图所示建立坐标系,各点坐标分别为A(0,7),B(3,
9、8),C(7,6),所以可得过A,B,C三点的圆弧方程为(x-3)2+(y-3)2=25(0 x7,y6).|AC|=设圆弧的圆心为E,则AEC=90.故所求的面积为S梯形AODC+S弓形ABC=S梯形AODC+(S扇形ACE-SACE)=1.直线x+y-2 =0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为()A.30 B.45 C.60 D.90【解析】选C.由于直线的倾斜角为120,画出草图,如图,易得等边三角形.2.已知点P为圆x2+y2-4x-4y+7=0上一点，且点P到直线x-y+m=0距离的最小值为则m的值为()【解析】选C.圆心到直线的距离则.所以m=2.3.过点P(2,3)向圆x2
10、+y2=1作两条切线PA,PB,则弦AB所在直线的方程为()A.2x-3y-1=0 B.2x+3y-1=0C.3x+2y-1=0 D.3x-2y-1=0【解析】选B.设圆x2+y2=1的圆心为O(0,0),以PO为直径的圆(x-1)2+(y-)2=与圆x2+y2=1的公共弦所在直线即为所求,直线方程为2x+3y-1=0,故选B.4.集合A=(x,y)|x2+y2=4,B=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r0,若AB中有且仅有一个元素,则r的值是.【解析】因为AB中有且仅有一个元素,所以圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切.当内切时,=|2-r|,解得r=7
11、.当外切时,=2+r,解得r=3.答案：3或75.设村庄外围所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示，村外一小路方程可用x-y+2=0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为_.【解析】因为圆心到直线的距离为，从村庄外围到小路的最短距离为-2.答案：-26.用坐标法证明：若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.【证明】如图,以AC所在的直线为x轴,过点B垂直于AC的直线为y轴建立直角坐标系,设顶点坐标分别为A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(x,y),因为|AB|2+|CD|2=|BC|2+|AD|2,所以a2+b2+(x-c)2+y2=b2+c2+(x-a)2+y2,化简得(a-c)x=0,因为a-c0,所以x=0,所以D点在y轴上,所以ACBD.所以若四边形的一组对边的平方和等于另一组对边的平方和,则该四边形的对角线互相垂直.
