1、2.3.4 平面与平面垂直的性质1.探究平面与平面垂直的性质定理,进一步培养学生的空间想象能力.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系,掌握等价转化思想在解决问题中的运用.平面与平面垂直的性质定理(1)文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面_.(2)符号语言：垂直_=lala.(3)图形语言：1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“”，错误的打“”).(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面.()(2)两个平面垂直，分别在这两个平面内且互相垂直的两
2、直线，一定分别与另一平面垂直.()(3)两平面垂直，分别在这两个平面内的两直线互相垂直.()(4)两个平面垂直，一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线.()提示：(1)错误.因为直线不一定在该平面内，故说法错误.(2)错误.该说法注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与交线垂直.(3)错误.其中至少一条垂直于交线时，两直线才垂直.(4)正确.一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内垂直于交线的直线及其平行线，有无数条.答案：(1)(2)(3)(4)2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线上).(1)两个平面垂直,过一个平面内一点,可作条直线和另一个平面垂直.(2
3、)设平面平面,点P在平面内,过点P作平面的垂线a,直线a与平面的位置关系是.(3)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD相交于O,A1C1与B1D1相交于O1,则OO1与平面A1B1C1D1的位置关系是.【解析】(1)此点不论在何位置,在这个平面内过此点只能作唯一一条直线和交线垂直,此直线垂直于另一个平面,故这样的直线只有1条.答案：1(2)由面面垂直,点P在平面内,过P的垂线一定在平面内.答案：直线a在平面内(3)因为平面ACC1A1平面A1B1C1D1,又OO1A1C1.所以OO1平面A1B1C1D1.答案：垂直平面与平面垂直的性质定理观察如图所示的长方体,结合平面与平面垂直的性
4、质定理,探究下列问题：探究1：结合图形说明平面内的直线与平面有什么关系?提示：平面内的直线与平面的位置关系有平行,如DC;有相交,如DD=D;有在平面内,如DC.探究2：在什么情况下,平面内的直线与平面垂直?提示：当平面内的直线与平面和平面的交线垂直时,这样的直线与平面垂直.例如,DD,CC.探究3：应用定理若分别去掉以下两个条件,探究定理是否成立.(1)将条件a去掉,结论是否成立?提示：不一定成立,如图让a,这时也有al,但a与不垂直.(2)将条件al去掉,结论是否成立?提示：不成立,如图直线a,但a与直线l不垂直,显然a与不垂直.【探究提升】平面与平面垂直的性质定理的关注点(1)性质定理成
5、立要有两个条件：一是线在面内,二是线垂直于交线.(2)利用性质定理的关键点：一找,二证.即在其中一个平面内找到一条直线,然后证明所找直线与交线垂直.(3)定理的实质是由面面垂直得到线面垂直.【拓展延伸】两个平面垂直的三个常用结论(1)两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.(2)两个相交平面同时与第三个平面垂直,则交线与第三个平面垂直.(3)两个互相垂直的平面的垂线也互相垂直.类型 一平面与平面垂直的性质定理的应用尝试完成下列试题,体会平面与平面垂直的性质定理的应用,并归纳平面与平面垂直的性质定理的作用.1.设平面平面,在平面内的一条直线a垂直于平面内的一条
6、直线b,则()A.直线a必垂直于平面B.直线b必垂直于平面C.直线a不一定垂直于平面D.过a的平面与过b的平面垂直2(2013银川高一检测)已知直二面角-l-，点A，ACl，C为垂足点B，BDl，D为垂足若AB2，ACBD1，则D到平面ABC的距离等于()3已知,=a.求证：a.【解题指南】1.依据面面垂直的性质定理,关键看直线是否垂直于两平面的交线.2.由已知,ACl,推出AC,再得到面面垂直,利用面面垂直的性质找到点到面的距离.3.利用平面与平面垂直的性质定理,在一个平面内作垂直于交线的直线.【解析】1.选C.由题意,a,b都不一定和平面的交线垂直,故都不一定和另一个平面垂直,A,B都不正
7、确,C正确,D不一定正确.2.选C.因为,ACl,所以AC,则平面ABC,在平面内过D作DEBC于E,则DE平面ABC,DE的长即为D到平面ABC的距离,在DBC中,运用等面积法得DE=.3.在内取一点P,作PA垂直与的交线于A,PB垂直与的交线于B,则PA,PB.因为a=,所以aPA,aPB.因为PA与PB相交,又PA,PB,所以a.【互动探究】题3增加条件“,又同时平行于直线b”,求证：b.【解题指南】过b作平面,利用线面平行的性质证明与交线a平行,再用线面垂直的性质证明线面垂直.【证明】如图,在a上任取点Q,过b与Q作一平面交于直线a1,交于直线a2.因为b,所以ba1.同理,ba2.因
8、为a1,a2同过Q且平行于b,所以a1,a2重合.又a1,a2,所以a1,a2都是,的交线,即都重合于a.因为ba1,所以ba.而a,所以b.【技法点拨】平面与平面垂直的性质定理的三条作用平面与平面垂直的性质定理,是由平面与平面垂直得出直线与平面垂直的结论,这种直线与平面的位置关系同平面与平面位置关系的转化,其作用有：(1)证明直线与平面垂直.(2)证明直线与直线平行.(3)作平面的垂线.类型 二线线、线面、面面垂直的综合应用试着完成下列各题,总结线线、线面、面面位置关系之间的相互转化.1.已知两个不同的平面,和两条不重合的直线m,n,有下列四个结论：(1)若mn,m,则n.(2)若m,m,则
9、.(3)若m,mn,n,则.(4)若,=n,mn,则m,其中正确结论的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.如图,设P是正方形ABCD外一点,且PA平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面PAD的位置关系是()A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直B.它们两两都垂直C.平面PAB与平面PBC垂直、与平面PAD不垂直D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直3.如图,四棱锥P-ABCD的底面是AB=2,BC=的矩形,侧面PAB是等边三角形,且侧面PAB底面ABCD.(1)证明侧面PAB侧面PBC.(2)求侧棱PC与底面ABCD所成的角.(3)求直线AB与平面PCD的距离.【解
10、题指南】1.利用线面平行和垂直及面面垂直的性质判断.2.利用面面垂直的判定定理判断.3.(1)利用面面垂直的性质定理,只需证BC垂直于交线.(2)取AB的中点E,利用面面垂直找到面的垂线,找到射影和线面角.(3)取CD的中点F,构造平面PEF,线到面的距离转化为点E到面的距离,转化为点E到线PF的距离.【解析】1.选C.利用平行线的性质(1)正确.由线面垂直的性质知(2)正确.(3)m,mn,则n或n,又n,故,正确.(4)错误,mn但m不一定在平面内,故不一定垂直于平面.2.选A.因为ADAB,ADPA且AB,PA平面PAB,所以AD平面PAB,所以平面PAD平面PAB,因为BCAD,所以B
11、C平面PAB,所以平面PBC平面PAB.3.(1)在矩形ABCD中,BCAB,又因为侧面PAB底面ABCD,侧面PAB底面ABCD=AB,所以BC侧面PAB.又因为BC侧面PBC,所以侧面PAB侧面PBC.(2)取AB的中点E，连接PE，CE,又因为PAB是等边三角形,所以PEAB.又因为侧面PAB底面ABCD，所以PE底面ABCD.所以PCE为侧棱PC与底面ABCD所成的角.在RtPEC中，PCE=45为所求.(3)在矩形ABCD中,ABCD,因为CD侧面PCD,AB侧面PCD,所以AB侧面PCD.取CD的中点F,连接EF,PF,则EFAB.又因为PEAB,所以AB平面PEF.又因为ABCD
12、,所以CD平面PEF.所以平面PCD平面PEF.作EGPF,垂足为G,则EG平面PCD.在RtPEF中，为所求.【技法点拨】1.线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化通过线面垂直可以实现线线垂直和面面垂直关系的相互转化，即直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直.2.空间直线、平面平行与垂直的相互转化【变式训练】(2013江苏高考)如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB,过A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC.(2)BCSA.【解题指南】(1)利用面面平行的判定定理证明.(2)先证线面垂直再证线线垂直.【证
13、明】(1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又因为E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC,因为BC平面SBC,所以AFBC.又因为ABBC,AFAB=A,AF,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.1.若三个不同的平面,满足,则,之间的位置关系是()A.B.C.或 D.或与相交【解析】选D.,都和平面垂直,都过平面的垂线,若都过同一条直线,则
14、平面,相交,平面,不相交时,则平行,故选D.2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E,作EFA1B1于F,则EF与平面A1B1C1D1的关系是()A.平行B.EF平面A1B1C1D1C.相交但不垂直D.相交且垂直【解析】选D.平面ABB1A1平面A1B1C1D1,又EFA1B1,故EF平面A1B1C1D1.3.已知平面平面,=l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.ABm B.ACmC.AB D.AC【解析】选D.如图所示：ABlm;ACl,mlACm;ABlAB.但是AC与不一定垂直.4.已知ABC是等腰直角三角形,A
15、=90,ADBC,D为垂足,以AD为折痕,将ABD和ACD折成互相垂直的两个平面后,如图所示,有下列结论：BDCD;BDAC;AD平面BCD;ABC是等边三角形.其中正确的结论的序号为.【解析】因为ADBD,ADDC,所以AD平面BCD且BDC为二面角的平面角,折成互相垂直的两个平面,则BDC=90,所以BDCD,进而BD平面ADC,故BDAC,因为AD=BD=DC,所以AB=AC=BC,故ABC是等边三角形,所以4个结论都正确.答案：5.如图,已知平面PAC平面BAC,PA=PC,D为AC的中点,求证：PDBD.【证明】因为PA=PC,D为AC的中点,所以PDAC,因为平面PAC平面BAC,所以PD平面BAC,因为BD平面BAC,所以PDBD.
