1、全书要点速记 第一章 集合与常用逻辑用语 NO.11常用数集数集名称非负整数集(或自然数集)正整数集 整数集 有理数集 实数集字母表示NN*或 NZQR2集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性3元素与集合的关系：属于，记为aA，不属于，记为aA.4集合的表示方法：列举法、描述法5集合间的基本关系重要结论(1)若集合 A 中含有 n 个元素，则有 2n 个子集，有 2n1 个非空子集，有 2n1 个真子集，有 2n2 个非空真子集(2)子集关系的传递性，即 AB，BCAC.易错警示 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解6集合
2、的基本运算(1)并集：ABx|xA 或 xB；(2)交集：ABx|xA 且 xB；(3)补集：UAx|xU 且 xA重要结论 ABABAABB.7充分条件与必要条件若 p，则 q若 q，则 pp 是 q 的_条件真命题假命题充分不必要假命题真命题必要不充分真命题真命题充要假命题假命题既不充分也不必要8全称量词命题与存在量词命题的否定含有一个量词的命题的否定，既要否定量词，又要否定结论全称量词命题 p：xM，p(x)，它的否定为 p：x0M，p(x0)；存在量词命题 p：x0M，p(x0)，它的否定为 p：xM，p(x)9根据集合间的关系判断充分、必要条件集合关系p 是 q 的_条件AB充分不必
3、要BA必要不充分AB充要Ax|p(x)，Bx|q(x)AB 且 BA既不充分也不必要第二章 一元二次函数、方程和不等式 NO.21作差法比较两个实数的大小ab0ab；ab0ab；ab0abbb，bcac；性质 3(可加性)：abacbc；性质 4：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd；性质 6：ab0，cd0acbd；性质 7：ab0，nN，n2anbn；性质 8：ab0，nN，n2n an b.3基本不等式：abab2(1)不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号(3)基本不等式的变形：abab22(a，bR)(4)重要不等式：a2b22ab
4、(a，bR)(5)最值定理：已知 x0，y0，则如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值2 p.(简记：积定和最小)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值p24.(简记：和定积最大)易错警示 应用基本不等式求最值的前提条件：“一正、二定、三相等”4解一元二次不等式的一般步骤计算判别式000求根有两个不等的实数根 x 1，x 2有两个相等的实数根 x 1，x 2无实数根画图计算判别式000f(x)0 x|xx1或 xx2xx b2aRf(x)0 x|x10(0，0(a0，f(x)(g(a)f(x)max(g(a)0fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是增
5、函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0fx1fx2x1x20f(x)在a，b上是减函数拓展 复合函数的单调性满足同增异减的原则3函数的奇偶性(1)f(x)是奇函数对定义域内任意 x，都有 f(x)f(x)f(x)图象关于原点对称；(2)f(x)是偶函数对定义域内任意 x，都有 f(x)f(x)f(x)图象关于 y 轴对称重要结论 若奇函数 f(x)在原点处有意义，则 f(0)0.4五个常见幂函数的图象第四章 指数函数与对数函数 NO.41根式的性质(1)(n a)na.(2)当 n 为奇数时，n ana；当 n 为偶数时，n an|a|a，a0，a，a0，m，nN*，且 n1)(2)a 1a
6、 1n am(a0，m，nN*，且 n1)(3)0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义3有理指数幂的运算性质(1)arasars(a0，r，sQ)；(2)(ar)sars(a0，r，sQ)；(3)(ab)rarbr(a0，b0，rQ)4指数式与对数式的关系(1)互化式：若 a0，且 a1，则 axNlogaNx.(2)对数的基本性质零和负数没有对数，即真数 N0；1 的对数为 0，即 loga10(a0，且 a1)；底数的对数等于 1，即 logaa1(a0，且 a1)(3)两个重要的对数恒等式alogaNN(a0，且 a1，N0)；logaaNN(a0，且 a1)5对数的四则运
7、算法则如果 a0，且 a1，M0，N0，那么：(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logaMNlogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)6对数的换底公式及推论(1)换底公式：logablogcblogca(a0，且 a1，c0，且 c1，b0)(2)常用推论：logablogba1；logablogbclogca1；logambnnmlogab(a0，a1，b0，m0)7指数、对数函数的图象及性质说明(1)研究指数、对数函数的性质时，要首先考虑底数 a 的取值范围，分 a1 和 0a1 两种情况进行讨论，在这两种情况下，函数的单调性不同，相应的图象也不同，其次要
8、注意函数的定义域(2)底数互为倒数，两指数函数的图象关于 y 轴对称；两对数函数的图象关于 x 轴对称(3)同底数的指数函数和对数函数的图象关于直线 yx 对称8函数的应用(二)(1)函数的零点概念：函数 f(x)的零点是使 f(x)0 的实数 x.(2)函数的零点与函数的图象与 x 轴的交点、对应方程的根的关系：(3)函数零点存在定理条件：函数 yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线；f(a)f(b)0.结论：函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根特别提醒(1)函数零点存在定理只能判断出零点
9、的存在性，而不能判断出零点的个数如图，虽然都有 f(a)f(b)0，但图中函数在区间(a，b)内有 4 个零点，图中函数在区间(a，b)内仅有 1 个零点 (2)函数零点存在定理是不可逆的，因为 f(a)f(b)0 可以推出函数 yf(x)在区间(a，b)内存在零点但是，已知函数 yf(x)在区间(a，b)内存在零点，不一定推出 f(a)f(b)0.(3)如果单调函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的实数解(4)二分法：对于在区间a，
10、b上图象连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法第五章 三角函数 NO.51任意角和弧度制(1)终边相同的角所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 S|k360，kZ(2)角度与弧度的互化角度化弧度弧度化角度3602 rad2 rad360180 rad rad1801 180 rad0.017 45 rad1 rad18057.30度数 180弧度数弧度数180度数(3)弧度制下的弧长与扇形面积公式设扇形的半径为 R，弧长为 l，(00)，则 sin yr，
11、cos xr，tan yx.(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin2cos21；(2)商数关系：tan sin cos.4三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin sin sin sin cos cos 余弦cos cos cos cos sin sin 正切tan tan tan tan 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限5正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数ysin xycos xytan x图象定义域RRxxk2值域1,11,1R函数ysin xycos
12、xytan x周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间2k2，2k22k，2kk2，k2递减区间2k2，2k322k，2k无函数ysin xycos xytan x对称中心(k，0)k2，0k2，0对称轴方程xk2xk无重要结论 函数 f(x)Asin(x)(A0，0)为偶函数的充要条件是 2k(kZ);f(x)为奇函数的充要条件是 k(kZ)6三角恒等变换(1)两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin(C()；cos()cos cos sin sin(C()；sin()sin cos cos sin(S()；sin()sin cos cos sin(S()；
13、tan()tan tan 1tan tan(T()；tan()tan tan 1tan tan(T()(2)二倍角公式sin 22sin cos；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2 2tan 1tan2.(3)半角公式sin 21cos 2；cos 21cos 2；tan 21cos 1cos；tan 2sin 2cos 2sin 22cos 2cos 22cos 2sin 1cos；tan 2sin 2cos 2sin 22sin 2cos 22sin 21cos sin.(4)辅助角公式asin bcos a2b2sin()其中 sin ba2b2，cos aa
14、2b2.重要结论(1)公式的常用变式tan tan tan()(1tan tan)；sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan 1tan2；cos 2cos2sin2cos2sin21tan21tan2.(2)降幂公式：sin21cos 22；cos21cos 22；sin cos 12sin 2.7函数 yAsin(x)(1)函数 yAsin(x)，A0，0 中参数的物理意义(2)用五点法画 yAsin(x)(A0，0，xR)一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：x0232 2x02322yAsin(x)0A0A0(3)函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin
15、(x)(A0，0)的图象的两种途径 方法一(先平移后伸缩)方法二(先伸缩后平移)易错警示 左右平移是相对于自变量 x 而言的，与其系数无关8三角恒等变换与三角函数图象性质的综合问题的解题策略利用三角恒等变换把函数化为 f(x)Asin(x)b 的形式(1)求周期：在 0，A0 的前提下，利用周期公式 T2即可计算出函数 f(x)的最小正周期(2)求单调区间：在 0 的前提下，22kx22k(kZ)的解集即为函数 f(x)的单调递增区间(3)求最值：代换法：若 A0，0，把 x 看作一个整体，由 x 的范围计算出 ux 的取值范围，然后结合函数 ysin u 的图象确定函数f(x)的最小值和最大值转化法：形如 yasin2xbsin xc 的三角函数，可先设 sin xt，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)换元法：形如 yasin xcos xb(sin xcos x)c 的三角函数，可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的最值谢谢观看 THANK YOU!
