1、点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系第二章2.1.1 平面互动课堂2随堂测评3课后强化作业4预习导学1预 习 导 学 课标展示 1知道平面的概念，了解平面的基本性质，会用图形与字母表示平面 2能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系 3能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用，并能确定平面的个数 温故知新 旧知再现 1在初中几何中学习的线可以看作是_运动形成的轨迹 2在平面几何中，通过实验、观察得到了点和线的基本性质是什么？连结两点的线中，线段最短；过两点有且只有一条直线点 3在平面几何中，两条直线的位置关系有哪几种？
2、在平面几何中，两直线的位置关系有：相交和平行两种 4几何中的点、直线都是抽象的概念，在现实世界中可以说是不存在的画出的点，我们不考虑它们的大小，画出的直线也不考虑它们的粗细基于这种抽象的思考，我们才能总结出上述点与直线的性质大家学完初中几何以后，已经初步体会到了这些抽象概念的意义和作用 新知导学 1平面延展平行四边形2虚线记法(1)用一个_，等来表示，如上图1中的平面记为平面(2)用两个大写的_(表示平面的平行四边形的对角线的顶点)来表示，如上图1中平面记为平面AC或平面BD(3)用三个大写的英文字母(表示平面的平行四边形的不共线的顶点)来表示，如上图1中的平面记为平面ABC或平面_等(4)用
3、四个大写的英文字母(表示平面的平行四边形_)来表示，如上图1中的平面可记为平面ABCD希腊字母英文字母BCD顶点 归纳总结习惯上，用平行四边形表示平面；在一个具体的图形中也可以用三角形、圆或其他平面图形表示平面 2点、线、面的位置关系的表示 A是点，l，m是直线，是平面.AlAlAAlllmAlAl 名师点拨从集合的角度理解点、线、面之间的关系(1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示(2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的关系，用“”或“”表示(3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“”或“”表示
4、3公理1两点l 名师点拨公理1的内容反映了直线与平面的位置关系“线上两点在平面内”是公理的条件，结论是“线上所有点都在平面内”，从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线(点集)中有两个点(元素)属于一个平面(点集)，那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个观点，一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点都在平面内 4公理2不在不共线 名师点拨(1)公理2的条件是“过不在一条直线上的三点”，结论是“有且只有一个平面”(2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不能
5、仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现 5公理3公共点直线Pl 名师点拨 公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯一”公理3强调的是两个不重合的平面，只要它们有一个公共点，其交集就是一条直线以后若无特别说明，“两个平面”是指不重合的两个平面 自我检测 1下列命题：(1)书桌面是平面；(2)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(3)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(4)平面是绝对的平、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念
6、其中正确命题的个数为()A1B2 C3D4 答案A 解析序号正误理由(1)因为平面是无限延展的，故(1)错(2)平面是无厚度的，故(2)错(3)平面是无限延展的，不可度量，故(3)错(4)平面是平滑、无厚度、无限延展的，故(4)正确 2如图所示，平面ABEF记作平面，平面ABCD记作平面，根据图形填写：(1)A，B_，E_，C_，D_.(2)_.(3)A，B_，C_，D_，E_，F_.(4)AB_，AB_，CD_，CD_，BF_，BF_.答案(1)(2)AB(3)(4)3已知直线m平面，Pm，Qm，则()AP，QBP，Q CP，QDQ 答案D 解析Qm，m，Q.Pm，有可能P，也可能有P.4三
7、点可确定平面的个数是()A0 B1 C2 D1或无数个 答案D 解析当这三点共线时，可确定无数个平面；当这三点不共线时，可确定一个平面 5如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面()A没有其他公共点B仅有这一个公共点 C仅有两个公共点D有无数个公共点 答案D互 动 课 堂 关于数学语言(文字语言、符号语言、图形语言)的互译问题典例探究 解析(1)符号语言表示：P，PA，PB，PC，图形表示：如图1.(2)符号语言表示：平面ABD平面BDCBD，平面ABC平面ADCAC，图形表示：如图2.规律总结：学习几何问题，三种语言间的互相转换是一种基本技能要注意符号语言的意义，如点与直线、点与平面间的位置
8、关系只能用“”或“”，直线与平面间的位置关系只能用“”或“”由图形语言表示点、线、面的位置关系时，要注意实线和虚线的区别(1)若点M在直线a上，a在平面内，则M，a，间的关系可记为_(2)根据右图，填入相应的符号：A_平面ABC，A_平面BCD，BD_平面ABC，平面ABC平面ACD_.(3)根据下列条件画出图形：平面平面MN，ABC的三个顶点满足条件AMN，B，BMN，C，CMN.答案(1)Ma，a，M(2)AC(3)如图所示三个公理的理解 解析(1)不正确如果点在直线上，这时有无数个平面；如果点不在直线上，在已知直线上任取两个不同的点，由公理2知，有唯一一个平面(2)正确经过同一点的两条直
9、线是相交直线，由公理2，有唯一一个平面(3)不正确三条直线可能交于同一点，也可能有三个不同交点，如图1(1)、(2)所示前者，由公理2得知，可以确定1个或3个平面；后者，由公理2及公理1知，能确定唯一一个平面(4)不正确四边形中三点可确定一个平面，而第四点不一定在此平面内，如图2.因此，这四条线段不一定在同一平面内规律总结：公理2是确定平面的依据，对涉及这方面的应用，务必分清它们的条件；立体几何研究的对象是空间点、线、面的位置关系，要有一定的空间想象能力对于问题中的点、线，要注意它们可能存在的不同的位置关系，以及由此产生的不同结果 若空间中有四个点，则由“这四个点中有三点在同一直线上”能否得到
10、“这四个点在同一平面上”？反之，能否由“这四个点在同一平面上”得到“这四点中有三点在同一直线上”？若不能，试举出反例 解析由“这四个点中有三点在同一直线上”能得到“这四个点在同一平面E”，因为“四个点中有三点在同一直线上”相当于已知一条直线和直线外一点，由公理2的推论1知，有且只有一个平面经过这四点，故“这四个点在同一平面上”由“这四个点在同一平面上“不能得到“这四个点中有三点在同一直线上”，如平行四边形的四个顶点在同一平面上，但这四个顶点中没有三点在同一直线上分析点线共面问题 解析已知：ABACA，ABBCB，ACBCC.求证：直线AB，BC，AC共面 证明：方法一：因为ACABA，所以直线
11、AB，AC可确定一个平面.因为BAB，CAC，所以B，C，故BC.因此直线AB，BC，AC都在平面内，所以直线AB，BC，AC共面 方法二：因为A不在直线BC上，所以点A和直线BC可确定一个平面.因为BBC，所以B.又A，同理AC，故直线AB，BC，AC共面 方法三：因为A，B，C三点不在同一条直线上，所以A，B，C三点可以确定一个平面.因为A，B，所以AB，同理BC，AC，故直线AB，BC，AC共面规律总结：1.利用公理2及三个推论，可以确定平面及平面的个数，公理中要求“不共线的三点”，推论1要求“平面外一点”，推论2要求“两条相交直线”，推论3要求“两条平行线”，因此对公理、推论的条件和结
12、论必须理解清楚2对于证明几个点(或几条直线)共面的问题，在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后，只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可 求证：一条直线和两条平行线都相交，则这三条直线共面 解析根据公理2的推论3，两平行直线可确定一平面，而一条直线和两条平行直线都相交，这两交点在这两平行直线上，根据公理1知过这两交点的直线也在这个平面内，所以这三条直线共面点共线与线共点的问题 分析 由题目可获取以下主要信息：三线AB、AC、BC在平面外；三线均与面相交 解答本题可先证明P、Q、R三点在面ABC内，又在面内，再利用公理3从而证得三点共线 证明方法一：ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC
13、，P平面ABC.由公理3可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q、R也在平面ABC与平面的交线上 P、Q、R三点共线 方法二：APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B面APR，C面APR，BC面APR.又Q面APR，Q，QPR.P、Q、R三点共线规律总结：证明点线共面的常用方法：(1)归一法：先由部分元素确定一个平面，再证其余元素也在这个平面内，其中第一步要应用公理2，第二步要应用公理1.(2)重合法：应用公理1，先由部分元素分别确定平面，然后应用公理2证明这几个平面重合 三个平面、两两相交，交于三条直线，即c，a，b，已知直线a和b不平行
14、 求证：a、b、c三条直线必过同一点 分析证三条直线共点时，应先找出其中两条直线的交点P，而第三条直线是两个平面的交线，P是这两个平面的公共点，据公理3得出P在第三条直线上 证明b，a，a，b，a、b不平行，a、b必相交，设abP，Pa，a，P，同理P，而c，Pc.a、b、c相交于一点P，即a、b、c三条直线过同一点 错解因为不共线的三点确定一个平面，所以由题设条件中的四点可确定四个平面 错因分析忽略了四个点在同一个平面上的可能 思路分析空间中任意三点都不共线的四点有两种位置关系：一种是任意不共线的三点所确定的平面过第四个点，此时，这四个点只能确定一个平面；另一种是任意不共面的三点所确定的平面
15、不过第四个点，此时，这四个点可确定四个平面 正解一个或者是四个 已知A，B，C，D，E五点中，A，B，C，D共面，B，C，D，E共面，则A，B，C，D，E五点一定共面吗？错解因为A，B，C，D共面，所以点A在B，C，D所确定的平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E也在B，C，D所确定的平面内，所以点A，E都在B，C，D所确定的平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面 错因分析错解忽略了公理2中“不在一条直线上的三点”这个重要条件，实际上B，C，D三点还可能共线 正解(1)如果B，C，D三点不共线，则它们确定一个平面.因为A，B，C，D共面，所以点A在平面内，因为B，C，D，E共面，所以点E在
16、平面内，所以点A，E都在平面内，即A，B，C，D，E五点一定共面(2)如果B，C，D三点共线于l，若A，E都在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E中有且只有一个在l上，则A，B，C，D，E五点一定共面；若A，E都不在l上，则A，B，C，D，E五点可能不共面规律总结：在立体几何中，空间点、线、面之间的位置关系不确定时，要注意分类讨论，避免片面地思考问题对于确定平面问题，在应用公理2及其三个推论时一定要注意它们成立的前提条件随 堂 测 评 1下列命题中正确命题的个数是()三角形是平面图形；四边形是平面图形；四边相等的四边形是平面图形；圆是平面图形 A1个 B2个 C3个 D4个 答案B
17、 解析正确，故选B.2如右图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为()A平面MN B平面NQP C平面 D平面MNPQ 答案A 解析MN是平行四边形MNPQ的一条边，不是对角线，所以不能记作平面MN.3用符号表示“点A在直线l上，l在平面外”，正确的是()AAl，lBAl，l CAl，lDAl，l 答案B 4下面是一些命题的叙述语(A，B表示点，a表示直线，表示平面)：(1)A，B，AB；(2)A，A，A；(3)A，a，Aa；(4)Aa，a，A.其中命题和叙述方法都正确的个数是()A0 B1 C2 D3 答案B 解析(3)正确(1)错，其中的AB应为AB.(2)错，其中，应该交于一条过A点的直线(4)错，因为点A可能是直线a与平面的交点 6看图填空：(1)ACBD_.(2)平面AB1平面A1C1_.(3)平面A1C1CA平面AC_.(4)平面A1C1CA平面D1B1BD_.(5)平面A1C1平面AB1平面B1C_.(6)A1B1B1BB1C1_.答案(1)O(2)A1B1(3)AC(4)OO1(5)B1(6)B1
