1、北京市平谷区2020-2021学年高二数学上学期期末考试试题第卷（选择题 共40分）一、 选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分；在每个小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1. 直线经过两点，那么其斜率为A B C D 2. 已知圆的方程，那么圆心和半径分别为A B C D 3. 抛物线的焦点到准线的距离是 ABCD 4. 双曲线的离心率，那么的值是A B C D 5. 如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如果的坐标为，那么的坐标是ABCD 6. 甲、乙两名同学相约学习某种技能，该技能需要通过两项考核才能拿到证书，每项考核结果互
2、不影响.已知甲同学通过第一项考核的概率是，通过第二项考核的概率是；乙同学拿到该技能证书的概率是， 那么甲、乙两人至少有一人拿到该技能证书的概率是A B C D7. 某校高一年级随机抽取15名男生，测得他们的身高数据，如下表所示：编号身高编号身高编号身高117361691116821797177121753175817513172417391741416951701018215176那么这组数据的第80百分位数是A BC D8. 已知椭圆的右顶点到双曲线的一条渐近线距离为,那么A BC D 9. 已知点是圆上的动点，到直线的距离为，当变化时，的最大值为A B C D 10.如图，在三棱柱中，底面
3、,点是上的动点下列结论错误的是A. B. 存在点，使得平面C. 不存在点，使得平面 D. 三棱锥的体积是定值第卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分请把答案填在答题卡中相应题中横线上）11. 用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中抽取一个容量为25的样本，那么个体被抽到的概率是 . 12. 经过点，且与直线平行的直线方程是 . 13.过抛物线焦点作直线，交抛物线于两点.若线段中点的横坐标为，则等于 .14设以原点为圆心的圆与轴交两点，如果以为焦点的椭圆与圆总有公共点，那么椭圆的离心率取值范围是 . 15. “曲线与圆有且仅有三个公共点”的充要条件是 .
4、 三、解答题：(本大题共6小题，共85分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）16. （本小题满分14分）在新冠肺炎疫情期间，为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作.为了解学生居家自主学习的情况，从某校高二年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习的时间分别在，（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）.0 1 2 3 4 5 6 7 8 小时频率组距0.300.200.150.050.030.02（）由图中数据,求的值，并估计从该校高二年级
5、中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习的时间在的概率；（）现从抽取的100名学生该天居家自主学习的时间在和的人中任选2人，进一步了解学生的具体情况，求其中学习时间在中至少有1人的概率；（III）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数.17. (本小题满分14分)如图，四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，是的中点, .() 求证：平面；() 求直线与平面所成角的正弦值；（）求点到平面的距离.18.（本小题满分14分）期末考试结束，高二（1）班班主任张老师从班里的40名学生中，随机抽取10名同学的语文和数学成绩进行抽样分析，研究学
6、生偏科现象.将10名学生编号为1,2,310,再将他们的两科成绩(单位：分)绘成折线图如下：语文数学成绩学生编号（）从这10名学生中随机抽取一名学生，求抽取的这名学生两科成绩相差大于10分的概率；（）从两科成绩均超过70分的学生中随机抽取2人进行访谈，求这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率；（）设该班语文和数学两科成绩的平均值分别为，方差分别为，根据折线图，试推断和，和的大小关系（直接写出结论，不需证明）。19.(本小题满分14分)如图，平面平面，四边形是边长为的正方形，为的中点，点在线段上 （）求证：平面；（）若存在点，使得平面与平面所成二面角的余弦值为，求的值. 20. (本小题满
7、分14分)已知椭圆的离心率，且过点.（）求椭圆的标准方程；（）设椭圆右顶点为，直线过点，且与椭圆交于另一点（不同于点），若有,求直线方程.21(本小题满分15分)已知椭圆：的左、右焦点分别为，点在椭圆上（）求椭圆的标准方程；（）若直线与圆相切，且与椭圆交于不同的两点，设，求的取值范围平谷区20202021学年第一学期质量监控高二数学 2021、1一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.） 题号12345678910答案BABCADCBDC二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 12. 13. 7 14. 15. 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算
8、步骤或证明过程16. （本小题满分14分）解：（）因为， 所以. 3分由图可得：随机抽取的100名学生中居家自主学习时间该天在的频率为，所以从该校高二年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习时间在的概率为. 5分（）设“抽取的2人其中学习时间在中至少有1人”为事件A 6分由图中数据可知：该天居家自主学习时间在和的人分别有2人和3人. 7分 设在的2人分别为,在的3人分别8分 则从这5人中任选2人的样本空间共有10个样本点事件A ，共有7个样本点10分 所以学习时间在中至少有1人的 概率为 11分（III）样本平均数:. 样本中的100名学生该天居家自主学习时间的平均数为5.38小时.
9、14分 17. (本小题满分14分)解: ()证明：连结交于，连结， 因为四边形是矩形，所以为中点.又因为是的中点，所以， 2分因为平面，平面，所以平面 4分解法二： ()证明：解：四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，因此以为原点，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系. 所以,，2分设平面的一个法向量为3分,即：5分因为，所以6分又因为平面，所以平面.7分() 设直线与平面所成角为，由，平面的一个法向量为所以, 即直线与平面所成角的正弦值为.11分（）设点到平面的距离，则所以点到平面的距离14分18.（本小题满分14分）解：（）设“抽取的这名学生两科成绩相差大于10分”为事件1分由图可得数学、语文成绩
10、相差大于10分的学生编号分别是2,5,6,7,8，共有5人，所以4分（）设“抽取的这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩”为事件5分因为两科成绩均超过70分的学生编号分别是1,3,4,9,10，则构成的样本空间共10个样本点事件包含共6个样本点9分所以这2人中恰有一个是语文成绩高于数学成绩的概率；10分（）， 14分 19.(本小题满分14分)解：（）证明：因为正方形， 所以因为平面平面，且平面平面，所以平面 2分因为平面，所以因为，为的中点，所以，且，所以平面 5分解法二：（）因为正方形， 所以因为平面平面，且平面平面，所以平面 2分所以因为所以互相垂直.以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标
11、系由题意，4分所以，,因为即所以平面. 6分（）因为点在线段上，设 所以存在，使得 因为，所以， 所以 所以， 8分设平面的一个法向量为，则， 即所以 10分因为平面，所以平面的一个法向量是，11分又因为平面与平面所成二面角的余弦值为，所以， 13分所以或舍去 所以 14分20. (本小题满分14分)解：（）由椭圆方程可知，椭圆焦点在轴，因为离心率，且过点.所以，4分所以椭圆的标准方程5分（）解法一：当直线斜率不存在时，又椭圆右顶点为此时,不满足.6分因此设直线， 7分因为，所以10分因为，所以 11分即整理得 解得：或者（与重合，舍）13分所以直线： 14分解法二：因为，所以6分因此设直线
12、7分 9分设，又椭圆右顶点为 10分所以，即12分得因此直线： 14分21(本小题满分15分)解：（）解法1：根据题意，根据椭圆的定义得 ，所以3分因为椭圆的左、右焦点分别为，由 所以 所以椭圆的标准方程为 5分解法2：根据题意可知：轴，在直角三角形中，由,解得即 ，所以3分因为椭圆的左、右焦点分别为，由 所以 所以椭圆的标准方程为 5分（）若直线的斜率不存在，则直线方程为或当时，此时同理当时，所以当直线的斜率不存在时 7分若直线的斜率存在，设直线：，与椭圆交点 ，因为直线和圆相切，所以 ，化简得 9分联立方程， 消得，显然所以 ，12分因此 由代入得： 13分因为，所以 14分综上所述， 15分（若用其他方法解题，请酌情给分）
