1、空间角与距离的计算与证明第一课时：空间角第一课时：空间角课前导引1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=_.第一课时：空间角课前导引1.四面体ABCD中，AB、CD所成的角为60，E、F、G分别为BC、AC、AD中点，若AB=CD=2，则EG=_.解析 EFG中，EFG=60或120，则EG=2或.第一课时：空间角课前导引2.两异面直线a,b所成角为60，过空间一点P作与a、b都成25（或30或40或60或80或90）的直线，分别可作_条.2.两异面直线a,b所成角为60，过空间一点P作与a、b都成25（或30或40或60
2、或80或90）的直线，分别可作_条.答案：0、1、2、3、4、1.考点搜索1.掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；2.能熟练地在图形中找出相关的角并证明；3.能用向量方法和非向量方法进行计算；考点搜索链接高考例1（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()链接高考例1（2004全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()B链接高考 例1（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中 中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是 、AD
3、的中点.那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于()例1（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中 中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是 、AD的中点.那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于()解析 利用空间向量求解较简便.例1（2004年天津卷）在棱长为2的正方体中 中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是 、AD的中点.那么异面直线OE和 所成的角的余弦值等于()解析 利用空间向量求解较简便.B例2（2005湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，()证明：ACBO1；()求二面角OACO1的大小.法一法二 例3（2005全国卷一
4、）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABDC，底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中点.()证明：面PAD面PCD；()求AC与PB所成的角；()求面AMC与面BMC所成二面角的大小.()求面AMC与面BMC所成二面角的大小.法一法二 如图建立空间直角坐标系,(III)在MC上取一点N(x，y，z),则存在R使方法论坛1.两条异面直线所成的角：平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角.或者说，若cosx，则这两条异面直线所成的角为 ar
5、ccos|x|.方法论坛2.直线和平面所成的角：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来.向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角，而所要求的角为3.平面与平面所成的角:“一找二证三求”.一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形求角.射影面积法：要注意所求角为 或 ；向量法:先求两个平面的法向量所成的角为，那么这两个平面所成的二面角的平面角为或.或者先求出二面角的平面角的两边的方向向量所成的角，而二面角的大小为 或 .注意：(1)在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2)用非向量方法求
6、角时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“就是所要求的角”的句子.长郡演练 B组长郡演练 B组解析第二课时：空间距离课前导引第二课时：空间距离1.RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为_.课前导引第二课时：空间距离1.RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为_.简评 先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.课前导引第二课时：空间距离1.RtABC两直角边BC=3，AC=4，PC面ABC，且PC=，则点P到斜边AB的距离为_.简评 先利用三垂线定理找出点P到AB的垂线段.3课前导引第二课
7、时：空间距离2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_.2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_.简评 线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.2.正四面体ABCD棱长为a，动点P、Q分别在线段AB、CD上，则|PQ|的最小值是_.简评 线段AB、CD的中点连线即为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异面直线AB、CD的距离.链接高考例1（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()
8、链接高考例1（2004年全国卷）已知球O的半径为1，A、B、C三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为，则球心O到平面ABC的距离为()B链接高考例2（2005全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A.3个B.4个C.6个D.7个例2（2005全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有()A.3个B.4个C.6个D.7个D 例2（2004年江苏卷）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方A1B1C1D1的中心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.(I)求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)；(II)设O点
9、在平面D1AP上的射影是H,求证：D1HAP；(III)求点P到平面ABD1的距离.解析在线探究1.(高中数学教材第二册下B第51页)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离.在线探究1.(高中数学教材第二册下B第51页)已知正方体ABCD-ABCD的棱长为1，求直线DA与AC的距离.在线探究分析：如果能找到DA与AC的公垂线段，则用非向量方法也可，只需解直角三角形.下面提供向量的两种解法.法一 设PQ为AC与DA的公垂线段,且AP=x，AQ=y，则ABCDABCDPQABCDABCDPQ法二 如图建立直角坐标系.设PQ为AC与DA的公垂线段，点P和Q坐标分别为，则ABC
10、DABCD(O)PQyxz方法论坛重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离.1.两点的距离：(1)通常构造直角三角形解决；方法论坛2.两条异面直线的距离:(1)如果已经找到或者容易找到两条异面直线的公垂线，则转化成求公垂线段的长度；(2)向量法：利用公式(其中A、B分别为两条异面直线上的一点，为这两条异面直线的法向量）3.点到平面的距离:(1)“一找二证三求”.一找：找到经过这个点与平面垂直的线段；二证：证明这条线段与平面垂直；三求：一般通过解直角三角形求出点到平面的距离.(2)等体积法.(3)向量
11、法：利用公式(其中A为已知点，B为这个平面内的任意一点，为这个平面的法向量）注意(1)在求距离时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，或者比较容易将其他向量用三个不共面向量来表示，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便.(2)用非向量方法求距离时，要做到“一找二证三求”，在解题过程中一定要出现形如“线段OA的长度即为点O到平面的距离”的句子.长郡演练 B组1.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AB=1，BC=2.求证：(1)平面PDC平面PAD；(2)若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦；(3)在BC边上是否存在一点G，使得D点到平面PAG的距离为1，如果存在，求出BG的值，如果不存在，说明理由.长郡演练 B组解析(1)证CD平面PAD；(2)取CD中点F，用余弦定理求得,则异面直线AE与PC所成角的余弦为(3)若存在，设BG=x，利用VP-AGD=VD-PAG，求得.所以当时，D点到平面PAG的距离为1.
