1、2.2.3 直线与平面平行的性质1.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行.2.结合具体问题体会化归与转化的数学思想.线面平行的性质定理,用符号语言可表示为ab1.直线与平面平行的性质定理由于过l可作无数个平面,这些平面与的交线也都平行于l.即若l,则在内可以找到无数条直线与l平行.(当然这无数条直线相互平行)2.应用线面平行的性质定理解题的关键是利用已知作辅助平面,然后把已知中的线面平行转化为直线和交线平行.题型一 直线与平面平行的性质定理的应用例1:求证:如果一条直线和两个相交平面都平行.那么这条直线和它们的交线平行.已知:=l,a,a.求证:al.分析:已知条件有线面
2、平行关系,可利用线面平行的性质定理转化为线线平行.证明:证法1:如下图,过a作平面交于b.a,ab.过a作平面交平面于c.a,ac,bc.又b且c .b.又平面过b交于l,bl.ab,al.证法2:如下图,在l上任取一点A,过A和a作平面与相交于l1,与相交于l2,则由线面平行的性质定理可知al1,al2.又过一点只能作一条直线与另一条直线平行.l1与l2重合.又l1 ,l2 .l1、l2重合于l.al.规律技巧:应用线面平行的性质定理时,应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线.本题证明2是同一法.变式训练1:三个平面两两相交,有三条交线,如果其中有两条交线平行,那么它们也和第三条交线平行
3、.已知:=a,=b,=c,且ab.求证:abc.证明:ab,b ,a .a.又a,=c,ac.abc.题型二 证明线面平行问题例2:如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,MN分别是AA1,CD1的中点.求证:MN平面ABCD.分析:欲证MN平面ABCD,由判定定理知,要在平面ABCD内找一条直线与MN平行.由于N为CD1的中点,取CD的中点E,连结AE,NE,证明四边形AMNE为平行四边形即可.证明:如图,取CD的中点E,连结AE,NE,由NE分别为CD1与CD的中点,可得END1D,且又AMD1D,且,ENAM,且EN=AM.四边形AMNE为平行四边形,MNAE.又AE 平面ABCD,M
4、N 平面ABCD,MN平面ABCD.规律技巧:证线面平行想到证线线平行,证线线平行又转化为线面平行.这种相互转化的基本思想就是证明线面关系的有效方法.变式训练2:如图所示,在长方体ABCD-ABCD中,点PBB(不与BB重合).PABA=M,PCBC=N,求证:MN平面BAC.证明:如图所示,连结ACAC.ABCD-ABCD是长方体,ACAC.又AC 面BAC,AC 平面BAC,AC平面BAC.又平面PAC过AC与平面BAC交于MN,MNAC.MN 平面BAC,MN平面BAC.题型三 性质定理的综合应用例3:如图所示,四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面,若截面为平行四边形.(1)求证
5、:AB平面EFGH,CD平面EFGH.(2)若AB=4,CD=6,求四边形EFGH周长的取值范围.分析:本题考查线面平行的判定和性质定理的应用.(1)转化为证明ABCD分别平行于平面EFGH内的一条直线;(2)设EF=x,用x表示四边形EFGH的周长,转化为求关于x的函数值域.解:(1)证明:四边形EFGH为平行四边形,EFHG.HG 平面ABD,EF平面ABD.EF 平面ABC,平面ABD平面ABC=AB,EFAB.AB平面EFGH.同理可证,CD平面EFGH.(2)解:设EF=x(0 x4),由于四边形EFGH为平行四边形,即四边形EFGH周长的取值范围是(8,12).变式训练3:如图,已
6、知ABCD四点不共面,且AB平面,CD平面,AC=E,AD=F,BD=G,BC=H,(1)求证:EFGH是一个平行四边形;(2)若AB=CD=a,试求四边形EFGH的周长.(1)证明:AB,AB 平面ABC,平面ABC=EHABEH,同理ABFGEHFG,同理EFGHEFGH是平行四边形.(2)解:ABEH,AB=CD=a,EH+EF=a,平行四边形EFGH的周长为2a.易错探究例4:如图所示,已知异面直线AB,CD都平行于平面,且AB,CD在的两侧,若AC,BD与分别交于MN两点,求证:错解:AB平面,又平面AMNB平面=MN,ABMN.同理CDMN,ABMNCD.错因分析:错解中忽略了AB
7、与CD是异面直线这个条件,按ABCD证明的,显然是错误的.正解:因为AB,CD是异面直线,所以AC,BD也一定是异面直线(否则A,C,B,D四点共面,则AB,CD共面与已知AB,CD是异面直线矛盾).所以MN不是过AB的平面与的交线,由AB不能推出ABMN,同理由CD不能推出CDMN.证明:连结AD交于点P,连结PM,PN,AB,AB 平面ABD,平面ABD=PN,ABPN,同理CDPM,基础强化1.已知直线l平面,l 平面,=m,则直线l,m的位置关系是()A.平行B.相交或平行C.相交或异面D.平行或异面答案:A2.过平面外的直线l,作一组平面与相交,如果所得的交线为a,b,c,则这些交线
8、的位置关系为()A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或都交于同一点解析:分l和l与相交两种情况作答.答案:D3.已知m,n是不重合的直线,是不重合的平面,有以下命题:其中真命题的个数是()A.0 B.1C.2D.3解析:中m与n也可能异面或相交;与也可能相交;m可能在内或内.因此、均错.答案:A4.a,b是两条异面直线,A是不在a,b上的点,则下列结论成立的是()A.过A且平行于a和b的平面可能不存在B.过A有且只有一个平面平行于a和bC.过A至少有一个平面平行于a和bD.过A有无数个平面平行于a和b答案:B5.若平面平面,直线a,点B,则在内过点B的所有
9、直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线解析:当a,Ba时,过点B不存在与a平行的直线.答案:A6.已知a,b,则直线a与b的位置关系:平行;垂直不相交;垂直相交;不垂直且不相交.其中可能成立的有_.7.有以下命题,正确命题的序号是_.直线与平面平行,则直线与平面无公共点直线与平面平行,则直线与平面内的所有直线平行直线与平面平行,则直线平行于平面内任一条直线直线与平面平行,则平面内存在无数条直线与该直线平行8.过正方体AC1的棱BB1作一平面交CDD1C1于EF.求证:BB1EF.证明:如下图所示:CC1BB1,
10、CC1平面BEFB1,BB1平面BEFB1,CC1平面BEFB1,又CC1平面CC1D1D,平面CC1D1D平面BEFB1=EF,CC1EF,BB1EF.能力提升9.已知直线a平面,点A.怎样在内过点A作一条直线b平行于a?作出图形写出作图过程.解:如下图,过点A与直线a作平面,则交线b为所求作的直线.设=b,则Ab,a,a ,=b,ba.10.如图,在空间四边形ABCD中,若P,R,Q分别是AB,AD,CD的中点,过P,R,Q的平面与BC交于S.求证:S是BC的中点.证明:在ABD中,点P,R分别是AB,AD的中点,则PRBD,又PR 平面BCD,BD 平面BCD,PR平面BCD,又PR 平
11、面PRQS,平面PRQS平面BCD=SQ,PRSQ,又PRBD,SQBD.又Q是CD的中点,S是BC的中点.11.如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连结BC,证明BC平面EFG.解:(1)如图(2)长方体的体积是V1=446=96(cm3),截去的一个角是一个三棱锥,其体积是所以所求多面体体积V=V1-V2=96-(3)证明:在长方体ABCDABCD中,连结AD,如图所示,则有ADBC,又E,G分别为AA,AD中点,所以ADEG.所以EGBC,又EG 平面EFG,BC 平面EFG,所以BC平面EFG.
