1、第二章点直线平面之间的位置关系2.1 空间点直线平面之间的位置关系2.1.1 平面1.初步理解平面的概念,掌握平面的表示法.2.了解并会用文字语言图形语言符号语言表示点线面的位置关系.3.掌握平面的基本性质的三种语言表示,初步掌握性质的简单运用.1.公理1:如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在此平面内.2.公理2:过不在一条直线上的三点,_一个平面.3.公理3:如果两个不重合的平面有_公共点,那么它们有且只有_过该点的公共直线.两点有且只有一个一条1.准确理解平面的概念“平面”是一个只给出描述而未下定义的最基本的原始概念,对“平面”这一概念应从以下三个方面注意理解:“平面”是平的;“
2、平面”无厚度;“平面”是无边界的,可以向四面八方无限延展.这就是人们常说的平面的“无限延展性”.2.空间图形的画法(1)关于平面的画法要注意以下几点通常画的平行四边形表示的是整个平面.需要时,可以把它延展开来,如同在平面几何中画直线一样,直线是可以无限延伸的,但在画直线时却只画一条线段来表示.加“通常”二字的意思是因为有时根据需要也可用其他平面图形表示:如用三角形矩形圆等平面图形来表示平面.画表示平面的平行四边形时,通常把它的锐角画成45,横边画成是邻边的两倍.画表示竖直平面的平行四边形时,通常把它的一组对边画成铅垂线.(2)画空间图形时,为什么规定:看不见的地方要画虚线或不画呢如果所有线都画
3、实线,则同一个图形可以想象出不同的形状.如图(甲),可以想象出两种不同的图形形状.想象点A在平面BCD里面,我们看不见;再想象点A被慢慢拉到外面来,于是,点A又在平面BCD的外面.这样,就得出两种不同的图形了,而图(乙)则不会产生上述感觉.同时也符合人的视觉效果原理:近实远虚.3.准确理解公理的含义公理1是判定直线在平面内的依据.证明一条直线在某一平面内,只需证明这条直线上有两个不同的点在该平面内.“直线在平面内”是指“直线上的所有点都在平面内”.公理2的作用是确定平面,是把空间问题化归成平面问题的重要依据.并可用来证“两个平面重合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.面重
4、合”.特别要注意公理2中“不在一条直线上的三个点”这一条件.“有且只有”的含义可以分开来理解.“有”是说明“存在”,“只有一个”说明“唯一”,所以“有且只有一个”,也可以说成“存在”并且“唯一”,与确定同义.推论1:经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面;推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.图形表示如下图公理3的作用是判定两个平面相交及证明点在直线上.例1:用符号语言及文字语言描述下图,并画出平面ABC和平面及的交线.分析:要画出两个平面的交线,根据公理1和公理2,只要找出它们的两个公共点,显然平面ABC和已有两个公共点A,B,延长AB交
5、l于D,D平面,即为平面ABC与平面的第二个交点.解:如图,=l,A,B,ABl,C,A、B、C均不在l上.作法:连结AB,并延长交l于D,连结AC、CD,则平面ABC与平面、的交线AD,DC即为所求.规律技巧:本题给出了画两个平面交线的一般方法,即找出它们的两个公共点,转化为找同一平面内两条直线的交点.变式训练1:判断下列说法是否正确?并说明理由.(1)平面的形状是平行四边形;(2)任何一个平面图形都是一个平面;(3)圆和平面多边形都可以表示平面;(4)因为ABCD的面积大于ABCD的面积,所以平面ABCD大于平面ABCD;(5)用平行四边形表示平面,以平行四边形的四条边作为平面的边界线.解
6、:(1)不正确.平面是无限延展的,我们只是画平行四边形表示平面.(2)不正确.平面图形和平面是两个完全不同的概念.平面图形有大小有面积,可以度量.而平面具有无限延展性,类似于直线可无限延伸,不可度量.(3)正确.圆和平面多边形都是平面图形,可以用它们表示平面.(4)不正确.平面是无限延展的,不论大小,不计面积.(5)不正确.平面是无限延展的,无边界.题型二 多线共面问题例2:证明两两相交且不共点的三条直线在同一平面内.已知:如图所示,l1l2=A,l2l3=B,l1l3=C.求证:直线l1l2l3在同一平面内.分析:证明多线共面,一般先选取两条直线构造一个平面,然后证明其他直线都在这个平面上.
7、证明:证法1:(同一法)l1l2=A,l1和l2确定一个平面.l2l3=B,Bl2.又l2,B.同理可证C.又Bl3,Cl3,l3.直线l1l2l3在同一平面内.证法2:(重合法)l1l2=A,l1l2确定一个平面.l2l3=B,l2l3确定一个平面.Al2,l2,A.Al2,l2,A.同理可证B,B,C,C.不共线的三个点ABC既在平面内,又在平面内.平面和重合,即直线l1l2l3在同一平面内.规律技巧:(1)同一法证明直线共面的步骤:证明其中两条直线平行或相交,即这两条直线确定一个平面;证明其余直线上均有两点也在平面内,即其余直线也在平面内,也就是证明了这些直线共面.(2)重合法证明直线共
8、面的步骤:证明这些直线确定若干个平面;利用公理及其推论证明这些平面重合,从而证明了这些直线共面.变式训练2:求证:如果一条直线和两条平行直线都相交,那么这三条直线共面.已知:ab,al=A,bl=B,求证:直线abl共面.证明:如图所示.ab,直线ab确定一个平面.al=A,Aa,A.又bl=B,Bb,B.又Al,Bl,l.直线abl共面.题型三 多点共线问题例3:如图,ABC在平面外,它的三边所在的直线分别交平面于P、Q、R,求证:P、Q、R三点共线.分析:由公理3知,两个平面相交有一条公共直线,要证PQR三点共线,只要证明这三点是这两个平面的公共点即可.证明:AB=P,AB 面ABC,P面
9、ABC,P,P在平面ABC与平面的交线上.同理可证Q和R均在这条交线上.P,Q,R三点共线.规律技巧:解决点共线或线共点的问题是平面性质的应用.解决点共线一般地先确定一条直线,再用平面的基本性质,证明其他的点也在该直线上.直线共点问题的步骤:一先说明直线相交,二让交点也在其他直线上.变式训练3:如图,已知平面相交于l,设梯形ABCD中,ADBC,且AB,CD.求证:ABCDl相交于一点.证明:梯形ABCD中,ADBC,ABDC是梯形ABCD的两腰,ABDC必相交于一点,设ABDC=M,又AB,CD,M,且M,M.又=l,Ml,ABCDl相交于一点.易错探究例4:已知:ABCDE五点,其中ABC
10、D共面,BCDE共面,则ABCDE是否共面?错解:ABCD共面,点A在BCD确定的平面内,又点BCDE共面,点E也在BCD确定的平面内.AE都在BCD所确定的平面内.即点ABCDE五点一定共面.错因分析:错解中,误认为BCD三点确定一个平面,而题设中并没有说明BCD三点确定一个平面.因此,当BCD三点共线时,ABCDE不一定共面.正解:ABCDE五点不一定共面.(1)当BCD三点不共线时,由公理可知BCD三点确定一个平面,由题设知A,E,故ABCDE五点共面于;(2)当BCD三点共线时,设共线于l,若Al,El,则ABCDE五点共面;若AE有且只有一点在l上,则ABCDE五点共面;若AE都不在
11、l上,则ABCDE五点可能不共面.综上所述,在题设条件下,ABCDE五点不一定共面.基础强化1.经过同一直线上的3个点的平面()A.有且只有一个B.有且只有3个C.有无数个D.不存在答案:C2.用符号表示“点A在直线l上,l在平面外”,正确的是()答案:B3.已知点A,直线a,平面.以上命题中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案:A4.平面平面=l,点A,B,C,且C l,又ABl=R,过A、B、C三点确定的平面记作,则是()A.直线ACB.直线BCC.直线CRD.以上都不对答案:C5.给出下列命题:(1)和直线a都相交的两条直线在同一个平面内;(2)三条两两相交的直线在同一平面内;
12、(3)有三个不同公共点的两个平面重合;(4)两两平行的三条直线确定三个平面.其中正确命题的个数是()A.0 B.1C.2 D.3答案:A6.下列命题三个点确定一个平面一条直线和一点确定一个平面两条相交直线确定一个平面两条平行线确定一个平面若四点不共面,则必有三点不共线.其中正确命题是_.解析:不正确,当三点共线时不成立.不正确.当点在直线上时,不成立.正确.两条相交直线,必有三个点不共线,由公理2知,正确.正确,理由同.正确,反证法:若有三点共线l,则l与第四个点确定一个平面.四点共面,与已知相矛盾.7.三条直线相交于一点,可确定的平面有_个.答案:1或38.三个平面、两两相交于三条直线,即=
13、c,=a,=b,已知直线a和b不平行.求证:a、b、c三条直线必过同一点.分析:先证a、b交于一点P,再证点P在直线c上,主要是利用公理2.来证明直线共点的问题.证明:=b,=a,a ,b .a、b不平行,a、b必相交,设ab=P,Pa,a ,P.Pb,b ,P.而=c,Pc.a、b、c相交于一点P,即a、b、c三条直线过同一点.能力提升9.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”和“这四个点在同一平面上”能不能互相推导.解:(1)“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况:第四个点在共线三点所在的直线上,可推出“这四个点在同一平面上”;第四个点不在共线三点所在的直线上,可推出“这
14、四点在唯一的一个平面内”.(2)“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行的直线上”,不一定能推出“这四个点中有三点在同一直线上.”10.一条直线与三条平行直线都相交,求证:这四条直线共面.分析:如果一条直线与两条平行直线都相交,则完全仿照变式2的证法证明,可是第四条直线为何在确定的平面内,显然靠公理1是行不通的,本题采用平面重合法证明.证明:如图,易证a,b,d在同一平面内,b,c,d在同一平面内.与有公共的相交直线b,d.即,是相交直线b,d确定的平面,与重合.a,b,c,d四线共面.11.在空间内,可以确定一个平面的条件是()A.两两相交的三条直线B.三条直线,其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点E.两条直线答案:D12.若三个平面两两相交,且三条交线互相平行,则这三个平面把空间分成()A.5部分B.6部分C.7部分D.8部分解析:如下图所示,三个平面可把空间分成7部分.答案:C
