1、三角形四心与向量的典型问题分析在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、“重心”的向量风采【命题1】 已知是所在平面上的一点,若,则是的重心如图.M 图图 【命题2】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则的轨迹一定通过的重心.【解析
2、】 由题意,当时,由于表示边上的中线所在直线的向量,所以动点的轨迹一定通过的重心,如图.二、“垂心”的向量风采【命题3】 是所在平面上一点,若,则是的垂心【解析】 由,得,即,所以同理可证,是的垂心如图. 图图【命题4】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的垂心【解析】 由题意,由于,即,所以表示垂直于的向量,即点在过点且垂直于的直线上,所以动点的轨迹一定通过的垂心,如图.三、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点,且, 若,则是的内心图图【解析】 ,则由题意得,与分别为和方向上的单位向量,与平分线共线,即平分同理可证:平分,平分从而是的内心,如图.【命题6】 已知是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的内心【解析】 由题意得,当时,表示的平分线所在直线方向的向量,故动点的轨迹一定通过的内心,如图.四、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点,若,则是的外心图图【解析】 若,则,则是的外心,如图。【命题7】 已知是平面上的一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足,则动点的轨迹一定通过的外心。【解析】 由于过的中点,当时,表示垂直于的向量(注意:理由见二、4条解释。),所以在垂直平分线上,动点的轨迹一定通过的外心,如图。