1、2013年中国人民大学附中高三5月模拟数学试卷（文科）一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1（5分）设集合M=x|lgx0，N=x|x|2，则MN=（）A（1，2 B1，2） C（1，2） D1，2考点：交集及其运算3804980专题：计算题分析：利用对数函数的定义域以及绝对值不等式的解法求出集合M和N，然后根据交集的定义得出结果即可解答：解：M=x|lgx0=x|x1，N=x|x|2=x|2x2，MN=x|1x2，故选：A点评：本题考查对数函数的基本性质，绝对值不等式的求法，交集的运算，考查计算能力，属于基础题2（5分）设a=20
2、.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）AabcBcbaCcabDbca考点：对数值大小的比较3804980专题：计算题分析：要比较三个数字的大小，可将a，b，c与中间值0，1进行比较，从而确定大小关系解答：解：00.321log20.3020.31log20.30.3220.3，即cba故选B点评：本题主要考查了对数值、指数值大小的比较，常常与中间值进行比较，属于基础题3（5分）（2009上海）已知直线l1：（k3）x+（4k）y+1=0，与l2：2（k3）x2y+3=0，平行，则K得值是（）A1或3B1或5C3或5D1或2考点：直线的一般式方程与直线的平行关系3
3、804980专题：分类讨论分析：当k3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k30时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值解答：解：由两直线平行得，当k3=0时，两直线的方程分别为 y=1 和 y=，显然两直线平行当k30时，由 =，可得 k=5综上，k的值是 3或5，故选 C点评：本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想4（5分）一几何体的三视图如图所示，其体积为（）cm3A12B36C18D20考点：由三视图求面积、体积3804980专题：计算题分析：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高和底面三角形的一边及此边上的高，进而可求该几何体的体积解答
4、：解：由几何体的三视图可知，该三棱锥的高为6cm，其底面三角形的一边及此边上的高分别为5cm与cm，由棱锥的体积公式V=，则该几何体的体积为故答案为 A点评：本题考查由几何体的三视图求其体积问题，属于基础题5（5分）设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn则“|q|=1”是“S4=2S2”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断3804980专题：等差数列与等比数列分析：根据等比数列的S4=2S2，把数列的前4项和与前两项的和用数列的通项表示出来，合并同类项整理得到第三项和第四项的和等于第一项和第二项的和，得到公比的平方
5、是1，从而得到结果解答：解：等比数列an的前n项和为Sn，S4=2S2，a1+a2+a3+a4=2（a1+a2）a3+a4=a1+a2，q2=1，“|q|=1”则“|q|=1”是“S4=2S2”的充要条件，故选C点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断、等比数列的前n项和与数列的通项，是一个基本量的运算问题，这种题目做起来运算量不大，只要注意应用等比数列的性质就可以做对6（5分）若向量，满足|=|=2，且+=6，则向量，的夹角为（）A30B45C60D90考点：数量积表示两个向量的夹角3804980专题：平面向量及应用分析：根据数量积的运算把条件代入进行化简，求出，夹角的余弦值，再求夹
6、角的大小解答：解：由题意得，即，4，解得，则向量的夹角是60故选C点评：本题考查了利用向量的数量积向量夹角问题，属于基础题7（5分）已知函数f（x）=sin（x+）（0，|）的部分图象如图，设数列an的通项公式为，则an的前2013 项之和为 （）A1B1CD0考点：数列的求和；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式3804980专题：三角函数的图像与性质分析：看图象，由周期可得，由f（）=1及|可求，从而得f（x）解析式，进而得an表达式，易判断数列an的周期，根据数列的周期性可得an的前2013 项之和解答：解：由图象知，所以=2，又f（）=1，sin（2+）=1，而|，所以=，所以
7、f（x）=sin（2x+），=sin（），易知数列an的周期为6，且，所以an的前2013 项之和为335（a1+a2+a3+a4+a5+a6）+（a1+a2+a3）=3350+（1+）=1，故选B点评：本题考查数列求和、由y=Asin（x+）的部分图象求其解析式，考查函数的周期性，考查学生综合运用知识解决问题的能力8（5分）如图所示，正方体ABCDABCD的棱长为1，E、F 分别是棱AA，CC的中点，过直线E、F的平面分别与棱BB，DD交于M、N，设BM=x，x0，1，给出以下四个命题：当且仅当x=0时，四边形MENF的周长最大；当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；四棱锥CMENF的体
8、积V=h（x）为常函数；正方体ABCDABCD被截面MENF平分成等体积的两个多面体以上命题中正确命题的个数（）A4B3C2D1考点：命题的真假判断与应用3804980专题：压轴题；空间位置关系与距离分析：判断周长的变化情况四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面积最小，则只需MN的长度最小即可求出四棱锥的体积，进行判断计算两个多面体的体积关系解答： 解：因为EFMN，所以四边形MENF是菱形当x0，时，EM的长度由大变小当x，1时，EM的长度由小变大 所以当x=0或x=1时周长都为最大值所以错误连结MN，因为EF平面BDDB，所以EFMN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使面
9、积最小，则只需MN的长度最小即可，此时当M为棱的中点时，即x=时，此时MN长度最小，对应四边形MENF的面积最小所以正确连结CE，CM，CN，则四棱锥则分割为两个小三棱锥，它们以CEF为底，以M，N分别为顶点的两个小棱锥因为三角形CEF的面积是个常数M，N到平面CEF的距离是个常数，所以四棱锥CMENF的体积V=h（x）为常函数，所以正确因为E，F是固定的中点，所以当M在运动时，AM=DN，DN=BM，所以被截面MENF平分成的两个多面体是完全相同的，所以它们的体积也是相同的所以正确所以四个命题中是真命题所以选B点评：本题考查空间立体几何中的面面垂直关系以及空间几何体的体积公式，本题巧妙的把立
10、体几何问题和函数进行的有机的结合，综合性较强，设计巧妙，对学生的解题能力要求较高二填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9（5分）已知，其中a，b是实数，i是虚数单位，则a+bi=2+i考点：复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算3804980专题：计算题分析：由条件可得，a=b+1+（b1）i，再根据两个复数相等的充要条件求得a和b的值，即可求得a+bi的值解答：解：已知，a=（1+bi）（1i），即 a=b+1+（b1）i，a=2，b=1，则a+bi=2+i，故答案为 2+i点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，两个复数相等的
11、充要条件，属于基础题10（5分）已知实数x1，9，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为考点：循环结构3804980专题：图表型分析：由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率解答：解：设实数x1，9，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3经过第三次循环得到x=22（2x+1）+1+1，n=3此时输出x输出的值为8x+7令8x+755，得x6由几何概型得到输出的x不小于55的概率为=故答案为：点评：解决程序框图中的循环
12、结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律11（5分）设不等式组表示的平面区域为D，若直线2x+y=b上存在区域D上的点，则b的取值范围 是0，8考点：二元一次不等式（组）与平面区域3804980专题：不等式的解法及应用分析：先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用直线的图象特征，结合区域的角上的点即可解决问题解答：解：作出区域D的图象，联系直线2x+y=b，能够看出，当直线2x+y=b经过区域的边界点O（0，0）时，b可以取到最小值0，当直线2x+y=b经过区域的边界点A（4，0）时，b可以取到最大值8，则b的取值范围是0
13、，8故答案为：0，8点评：这是一道略微灵活的线性规划问题，本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题12（5分）对长为800m、宽为600m的一块长方形地面进行绿化，要求四周种花卉，花卉带的宽度相等，中间种草，并且种草的面积不小于总面积的一半，则花卉带的宽度范围为（0，100（用区间表示）考点：二次函数的性质3804980专题：计算题；应用题分析：种草的小长方形的长为（8002x）cm，宽为（6002x）cm，根据“种草的面积不小于总面积的一半”可列出不等式（8002x）（6002x）800600，解方程，主要x自身的范围解答：解：因为种草的小长方形
14、的长为（8002x）cm，宽为（6002x）cm，则其面积为（8002x）（6002x）cm2根据题意得：（8002x）（6002x）800600其中x300整理得：x2700x+60000解之得：x100所以0x100故答案为：（0，100点评：本题主要考查了利用一元二次方程求解，另外应判断解出的解是否符合题意，进而确定取舍，属于中档题13（5分）已知离心率为的椭圆C1的左、右焦点分别为F1，F2，抛物线C2：y2=4mx（m0）的焦点为F2，设椭圆C1与抛物线C2的一个交点为P（x，y），则椭圆C1的标准方程为；抛物线C2的标准方程为y2=4x考点：抛物线的简单性质；椭圆的简单性质3804
15、980专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据题意设出椭圆的方程，把椭圆的方程与抛物线的方程进行联立，得到交点的坐标，|PF1|的长，求出m的值，求写出椭圆的方程、抛物线C2的标准方程，得到结果解答：解：因为c=m，e=，a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为，由椭圆的方程与y2=4mx，得3x2+16mx12m2=0即（x+6m）（3x2m）=0，得x1=，代入抛物线方程得y=m，P（ ，m）|PF2|=x1+m=，|PF1|=2a=，m=1，当m=1时，椭圆C1的标准方程为 ；抛物线C2的标准方程为 y2=4x故答案为：；y2=4x点评：本题考查解析几何与数列的综合题目，题目中所应用的数列
16、的解题思想，用到曲线与曲线之间的交点问题，本题主要考查运算，整个题目的解答过程看起来非常繁琐，注意运算14（5分）已知数列an的前n项和，则an=； 若a5是an中的最大值，则实数a的取值范围是考点：数列的概念及简单表示法3804980专题：计算题；压轴题分析：利用an=SnSn1，结合已知条件，即可得到数列的通项，利用a5是an中的最大值，建立不等式，即可求实数a的取值范围解答：解：2n4时，an=SnSn1=2n1，n=1时，a1=S1=1也满足上式；n6时，an=SnSn1=2n+a，n=5时，a5=S5S45a45an=；由题意，a5是an中的最大值，5a458且5a4512+a，故答
17、案为，点评：本题考查数列的通项与求和，考查解不等式，考查学生的计算能力，属于中档题三解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（13分）已知函数f（x）=sinxcosx（0）的图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2）（）求的值；（）在ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且f（A）=2，求角A的大小及的取值范围考点：正弦定理；由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式3804980专题：解三角形分析：（）函数解析式利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由函数图象上相邻最高点横坐标之差求出函数的周期，即可求出的值；（）将的值代入
18、函数解析式，根据f（A）=2，求出sin（2A）=1，根据A为三角形的内角，确定出2A的范围，利用特殊角的三角函数求出A的度数；由sinB=sin（AC）及sinA的值，利用正弦定理化简所求式子为一个角的正弦函数，由C的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出所求式子的范围解答：解：（）f（x）=sinxcosx=2sin（x），函数图象上两相邻最高点的坐标分别为（，2）和（，2），函数的周期T=，则=2；（）f（A）=2sin（2A）=2，sin（2A）=1，0A，2A，2A=，即A=，由正弦定理得：=sin（C），0C，0C，（0，点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函
19、数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握正弦定理是解本题的关键16（13分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：A配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数82042228B配方的频数分布表指标值分组90，94）94，98）98，102）102，106）106，110频数412423210（）分别估计用A配方，B配方生产
20、的产品的优质品率；（）已知用B配方生成的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；众数、中位数、平均数3804980专题：计算题；综合题分析：（I）根据所给的样本容量和两种配方的优质的频数，两个求比值，得到用两种配方的产品的优质品率的估计值（II）根据题意得到变量对应的数字，结合变量对应的事件和第一问的结果写出变量对应的概率，写出分布列和这组数据的期望值解答：解：（）由试验结果知，
21、用A配方生产的产品中优质的频率为用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42（）用B配方生产的100件产品中，其质量指标值落入区间90，94），94，102），102，110的频率分别为0.04，0.54，0.42，P（X=2）=0.04，P（X=2）=0.54，P（X=4）=0.42，即X的分布列为X224P0.040.540.42X的数学期望值EX=20.04+20.54+40.42=2.68点评：本题考查随机抽样和样本估计总体的实际应用，考查频数，频率和样本容量之间的关系，考查离散型随机变量的分
22、布列和期望，本题是一个综合问题17（14分）如图，已知AB平面ACD，DEAB，ACD是正三角形，AD=DE=2AB，且F是CD的中点（）求证：AF平面BCE；（）求证：平面BCE平面CDE；（）设平面BCE平面ACD=l，试问直线l是否和平面ABED平行，说明理由考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定3804980专题：空间位置关系与距离分析：（I）取CE中点P，连接FP，BP，根据三角形中位线性质，我们易得四边形ABPF为平行四边形，则AFBP，再由线面平行的判定定理可得AM平面BCE；（）先利用线面垂直的判定定理证明AF平面DCE，再利用面面垂直的判定定理证明平面BCE平面CD
23、E；（）假设直线l和平面ABED平行，利用线面平行的性质，可得ADEB，与AD，EB相交矛盾，故可得结论解答：（I）证明：取CE中点P，连接FP，BPF是CD的中点，FPDE且FP=DEABDE，AB=DEABFP，AB=FP四边形ABPF为平行四边形AFBP AF平面BCE，BP平面BCEAM平面BCE；（）证明：ACD是正三角形，AFCDAB平面ACD，DEABDE平面ACD，AF平面ACD，DEAFCDDE=DAF平面DCEBPAF，BP平面DCEBP平面BCE平面BCE平面CDE；（）解：假设直线l和平面ABED平行l平面BCE，平面BCE平面ABED=EBlEB同理lADADEB，与
24、AD，EB相交矛盾直线l和平面ABED不平行点评：本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直、面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题18（13分）（2007天津）已知函数（xR），其中aR（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；（II）当a0时，求函数f（x）的单调区间与极值考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程3804980专题：计算题；压轴题；分类讨论；转化思想分析：（I）把a=1代入，先对函数求导，然后求f（2），根据导数的几何意义可知，该点切线的斜率k=f（2），从而求出切线方程（II）先对函数求导，
25、分别解f（x）0，f（x）0，解得函数的单调区间，根据函数的单调性求函数的极值解答：解：（I）解：当a=1时，又所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为，即6x+25y32=0（II）解：=由于a0，以下分两种情况讨论（1）当a0时，令f（x）=0，得到当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在区间，（a，+）内为减函数，在区间内为增函数函数f（x）在处取得极小值，且函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1（2）当a0时，令f（x）=0，得到当x变化时，f（x），f（x）的变化情况如下表：所以f（x）在区间（，a）内为增函数，在区间内为减函数
26、函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1函数f（x）在处取得极小值，且点评：本小题考查导数的几何意义，两个函数的和、差、积、商的导数，利用导数研究函数的单调性和极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法19（13分）已知椭圆C：=1（ab0）的离心率，直线与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切（I）求椭圆C的方程；（）设M是椭圆的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k1，k2，且k1+k2=4，证明：直线AB过定点N（，l）考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程3804980专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析
27、：（I）由离心率为得，由直线l与圆相切得=b，再由b2+c2=a2即可解得a，b值；（）要证明直线AB过定点N（，l），可证设MA：y=k1x+1，代入椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理可表示点A坐标，同理可得点B坐标，由向量共线的条件可证；解答：解：（I）由已知得：，解得，故椭圆方程为：；（）由（I）知M（0，1），设MA：y=k1x+1，由得：，则，所以，所以A（，），同理可得B（，），所以=（，），所以=0，故，所以A、B、N三点共线，即直线AB过定点N（，1）点评：本题考查椭圆方程、直线方程及其位置关系，考查向量在解析几何中的应用，考查学生对问题的分析转化能力，考查转化思想20（
28、14分）如图所示，正五边形ABCDE的每个顶点对应着一个整数，且这五个整数的和为正数若其3个相邻顶点对应的整数依次为x、y、z，且y0，则要进行如下的操作：把整数x、y、z分别换为x+y，y，z+y，称其为一次“求正”操作只要五个整数中有负整数，“求正”操作就要继续进行（）若 A，B，C，D，E对应的数分别为3，2，2，4，1，写出每一步“求正”操作直到终止；（）若 A，B，C，D，E对应的数分别为a，4，5，1，2，并且经过两次“求正”操作后终止，求实数a的值；（）判断对任意满足条件的数组，“求正”操作是否经过有限次后就一定能终止？说明理由考点：进行简单的合情推理3804980专题：压轴题；
29、新定义；操作型分析：（I）根据“求正”操作的程序可得，操作依次为：3，2，2，4，11，2，4，4，1，1，2，4，0，1，1，2，2，0，1，1，1，2，0，0（II）分对4操作和对a4进行操作两种情况，建立关于a的不等关系，结合a为整数，即可求出所求a的值（III）我们把5个数的环列写成横我v，w，x，y，z不妨设y0，经变换后得v，w，x+y，y，z+y下面考察5个数的平方和再加上每相邻两数和的平方这一整体，根据变换前后的差小于0，由此可得，这一整体每经过一次变换都要减小，但最初这一整体是正整数，经变换后还是正整数，而正整数是不能无限减小的，所以变换必定有终止的时候解答：解：（I）操作依
30、次为：3，2，2，4，11，2，4，4，1，1，2，4，0，1，1，2，2，0，1，1，1，2，0，0（II）分两种情况，先对4操作，过程如下：a，4，5，1，2a4，4，1，1，2此时，a4必为负数，继续操作，4a，a，1，1，a2于是有，解之得a=2或3若对a进行操作，a，4，5，1，2a，a4，5，1，a+2此时a4a2，故可对a4进行操作，a，a4，5，1，a+24，4a，a+1，1，a+2显然无法终止，不符合题意综上，所求a的值为2或3（III）为方便见，我们把5个数的环列写成横我v，w，x，y，z不妨设y0，经变换后得v，w，x+y，y，z+y考察5个数的平方和再加上每相邻两数和的平方这一整体，那么变换前后的差是：v2+w2+（x+y）2+（y）2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x+y）2+x2+z2+（z+y+v）2v2+w2+（x+y）2+y2+（z+y）2+（v+w）2+（w+x）2+x2+z2+（z+v）2=2y（v+w+x+y+z）0，由此可得，这一整体每经过一次变换都要减小，但最初这一整体是正整数，经变换后还是正整数，而正整数是不能无限减小的，所以变换必定有终止的时候即“求正”操作经过有限次后就一定能终止点评：本题主要考查了进行简单的合情推理，考查了数学逻辑思想能力，属于难题
