1、课时演练促提升A组1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=(nN*,a1),在验证n=1时,左边所得的项为()A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a3答案:B2.用数学归纳法证明“凸n(n3,nN)边形的内角和公式”时,由n=k到n=k+1时增加的是()A.B.C.D.2解析:如图,由n=k到n=k+1时,凸n边形的内角和增加的是:1+2+3=,故选B.答案:B3.一个与正整数n有关的命题,当n=2时命题成立,且由n=k时命题成立可以推得n=k+2时命题也成立,则()A.该命题对于n2的自然数n都成立B.该命题对于所有的正偶数都成立C.该命题何时成立与k取值无关D.以上答案都
2、不对解析:因为2与k+2均为偶数,故选B.答案:B4.用数学归纳法证明1+k+1(nN*),由n=k(kN*)不等式成立,推证n=k+1时,左边应增加的项数是()A.2kB.2k-1C.2k+1D.2k-1解析:当n=k时,左边有2k项,当n=k+1时,左边有2k+1项,故增加的项数为2k+1-2k=2k.答案:A5.用数学归纳法证明1+1)时,假设当n=k时不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.答案:1+k+16.用数学归纳法证明(1+1)(2+2)(3+3)(n+n)=2n-1(n2+n)时,从n=k到n=k+1左边需要添加的因式是.解析:当n=k时,左边=(1+1)(2+2
3、)(3+3)(k+k),当n=k+1时,左边=(1+1)(2+2)(3+3)+(k+k)(k+1+k+1),比较两式可知,由n=k到n=k+1,左边需添加的因式为(2k+2).答案:2k+27.用数学归纳法证明:(nN*).证明:(1)当n=1时,左边=1-,右边=,故等式成立.(2)假设n=k(k1,kN*)等式成立,即.当n=k+1时,=,故当n=k+1时等式成立.由(1)(2)可知对于nN*等式都成立.8.已知数列an的第一项a1=5且Sn-1=an(n2,nN*).(1)求a2, a3,a4,并由此猜想an的表达式;(2)用数学归纳法证明an的通项公式.(1)解:a2=S1=a1=5,
4、a3=S2=a1+a2=10,a4=S3=a1+a2+a3=5+5+10=20,猜想an=52n-2(n2,nN*).(2)证明:当n=2时,a2=522-2=5,猜想成立.假设当n=k时成立,即ak=52k-2(k2,kN*),当n=k+1时,由已知条件和假设有ak+1=Sk=a1+a2+ak=5+5+10+52k-2=5+=52k-1.故n=k+1时,猜想也成立.由可知,对n2,nN*,有an=52n-2,所以数列an的通项an=B组1.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”,那么,下列命题总成立的是()A.若f(
5、3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)0).a1=1.又=1,n=1时,结论成立.(2)假设n=k(kN*)时,结论成立,即ak=.当n=k+1时,ak+1=Sk+1-Sk=.+2ak+1-1=0,解得ak+1=(an0),n=k+1时,结论成立.由(1)(2)可知,对nN*都有an=.6.用数学归纳法证明对一切nN*,1+.证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立.(2)假设当n=k时,不等式成立,即1+,则当n=k+1时,要证1+,只需证.因为=0,所以,即1+,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)知,不等式对一切nN*都成立.
