1、第19节 函数yAsin(x)的图象与应用考纲呈现 1了解函数yAsin(x)的物理意义，能用五点法画出yAsin(x)的图象，了解参数A，对函数图象变化的影响 2能结合yAsin(x)的图象与三角函数的性质求函数解析式，熟练掌握对称轴与对称中心的求解及图象的平移和伸缩变换 3了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，能用三角函数解决一些简单的实际问题.诊断型微题组 课前预习诊断双基1“五点法”作函数 yAsin(x)(A0，0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与 x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示.(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点
2、，用平滑的曲线顺次连接得到yAsin(x)在一个周期内的图象(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得yAsin(x)在R上的图象 2函数 ysin x 的图象经变换得到 yAsin(x)的图象的两种途径 3yAsin(x)的有关概念 1函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象 2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.1(2018山东淄博校级模拟)为了得到函数ysin 3xcos 3x的图象，可以将函数y 2cos 3x的图象()A向右平移
3、12个单位 B向右平移4个单位 C向左平移 12个单位 D向左平移4个单位【答案】A【解析】函数ysin 3xcos 3x 2sin3x4，故只需将函数y2 cos 3x2 sin 3x2 的图象向右平移 12 个单位，得到ysin3x 12 2 sin3x4 的图象.故选A.2(2018湖北荆州模拟)函数f(x)2sin(x)0，22的部分图象如图所示，则，的值分别是()A2，3 B2，6 C4，6D4，3【答案】A【解析】由图象可知34T5123 912，T，2T 2.512，2 在图象上，25122k2，kZ，2k3，kZ.22，3.故选A.3(必修 4P70A 组 T16 改编)函数
4、ysin2x3 在区间2，上的简图是()【答案】A【解析】当x0时，ysin 3 32，排除B，D，当x 6时，y0.排除C.故选A.4(教材习题改编)如图，某地一天从614时的温度变化曲线近似满足函数yAsin(x)b，则这段曲线的函数解析式为_【答案】y10sin8x34 20，x6,14【解析】从图中可以看出，A12(3010)10，b12(3010)20，从614时的是函数yAsin(x)b的半个周期，所以又122 146，所以8.又8102，解得34，y10sin8x34 20，x6,14 形成型微题组 归纳演绎形成方法 函数 yAsin(x)的图象及变换 1(2018 柳州模拟)若
5、函数 ysin(x)(0)的部分图象如图，则()A5B4 C3D2【答案】B【解析】由函数图象知T422，2T 224.2(2018湖南衡阳八中月考)要得到函数ysin 4x3 的图象，只需将函数ysin 4x的图象()A向左平移 12个单位 B向右平移 12个单位 C向左平移3个单位 D向右平移3个单位【答案】B【解析】ysin4x3 sin4x 12，要得到函数ysin4x3 的图象，只需将函数ysin 4x的图象向右平移 12个单位 微技探究 作函数yAsin(x)(A0，0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图法，用“五点法”作yAsin(x)的简图，主要是通过变量代换，设zx，由
6、z取0，2，32，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后画出图象；(2)图象的变换法，由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”(2018哈尔滨九中月考)函数f(x)sin x 3cos x(0)的周期为.(1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到【解】(1)f(x)sin x 3cos x212sin x 32 cos x 2sinx3.T，2，2，f(x)2sin2x3.令z2x 3，则y2sin 2x3 2sin z列表，并描点画出
7、图象：(2)把ysin x的图象上所有点向左平移3个单位，得到ysinx3 的图象；再把ysinx3 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到ysin2x3 的图象；最后把ysin2x3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y2sin2x3 的图象 由图象确定yAsin(x)的解析式 1.(2018山东青岛一模)函数f(x)Asin(x)A0，0，|2的部分图象如图所示，则，的值分别为()A2,0B2，4C2，3D2，6【答案】D【解析】由函数的图象可知A1，3T4 1112 634，T，所以2，因为函数的图象经过6，1，所以1sin26，因为|2，所
8、以6.故选D.2(2018河北沧州一中1月月考)函数f(x)Asin(x)(A0，0，|)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为_【答案】f(x)2sin2x3 【解析】由题图可知A 2.又T471234，所以T，故2，因此f(x)2sin(2x)又3，0 对应五点法作图中的第三个点，因此23，所以3，故f(x)2sin2x3.微技探究 确定yAsin(x)B(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则AMm2，BMm2.(2)求，确定函数的周期T，则2T.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或
9、把图象的最高点或最低点代入 五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.1.(2018洛阳调研)已知函数f(x)Asin(x)A0，0，|2 的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()Af(x)sin3x3 Bf(x)sin2x3 Cf(x)sinx3Df(x)sin2x6 【答案】D【解析】由图象可知T45126，T，2T 2，故排除A，C；把x6代入检验知，选项D符合题意 2.(2018河北唐山模拟)已知函数yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为2，直线x3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为()Ay4sin4x6By2sin
10、2x3 2 Cy2sin4x3 2Dy2sin4x6 2【答案】D【解析】由函数yAsin(x)b(A0，0)的最大值为4，最小值为0，可知b2，A2.由函数的最小正周期为2，可知2 2，得4.由直线x3是其图象的一条对称轴，可知43k2，kZ，从而k56，kZ.故选项中满足题意的是y2sin4x6 2.函数yAsin(x)的图象性质的应用命题角度1 函数模型 (2018江西南昌模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos 6x6(x1,2,3，12)来表示已知6月份的月平均气温最高，为28，12月份的月平均气温最低，为18，则10月份的平均气温值为_.【答案
11、】20.5【解析】依题意知，a2818223，A281825，y235cos6x6，当x10时，y235cos64 20.5.命题角度2 函数零点问题 已知关于x的方程2sin2x 3sin2xm10在2，上有两个不同的实数根，则m的取值范围是_【答案】(2，1)【解析】2sin2x 3sin 2xm10，1cos 2x 3sin 2xm10，cos 2x 3sin 2xm0，2sin2x6 m，sin2x6 m2，x2，2x676，136.作出图象如图，由图可知，若要方程在 2，上有两个不同的实数根，则1m212，即2m1.命题角度3 函数图象与性质的综合 (2018合肥质检)已知函数f(x
12、)4cos xsinx6 a(0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求a和的值；(2)求函数f(x)在0，上的单调递减区间【解】(1)f(x)4cos x sinx6 a 4cos x32 sin x12cos x a 2 3sin xcos x2cos2x11a 3sin 2xcos 2x1a 2sin2x6 1a.当sin2x6 1时，f(x)取得最大值21a3a.f(x)最高点的纵坐标为2，3a2，即a1.f(x)图象上相邻两个最高点的距离为，f(x)的最小正周期为，T22，1.(2)由(1)得f(x)2sin2x6，由22k2x632 2k，kZ，得6kx
13、23 k，kZ.令k0，得6x23.函数f(x)在0，上的单调递减区间为6，23.微技探究 1三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题 2方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数 3研究yAsin(x)的性质时可将x视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题 1.(2018四川成都模拟)电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)A0，0，02 的图象如图所示，则当t1100秒时，电流强度是()A5安B5安C5 3安D10安【答案】A【解析】由图象知A10，T2 4300 1300 1100
14、，T 150，2T 100，I10sin(100t)由1300，10 为图象的一个最高点，得100 13002k2，kZ.2k6(kZ)，又00)为偶函数，且函数yf(x)图象的两相邻对称轴间的距离为2.(1)求f8 的值；(2)求函数yf(x)fx4 的最大值及取最大值时对应的x的值【解】(1)f(x)3sin(x)cos(x)232 sinx12cosx 2sinx6.因为f(x)为偶函数，则6 2k(kZ)，所以23 k(kZ)又因为0，所以23，所以f(x)2sinx2 2cos x.由题意得2 22，所以2.故f(x)2cos 2x.因此f8 2cos4 2.(2)y2cos 2x2
15、cos 2x4 2cos 2x2cos2x2 2cos 2x2sin 2x 2 2sin42x.令42x2k2(kZ)，y有最大值2 2，所以当xk8(kZ)时，y有最大值2 2.目标型微题组 瞄准高考使命必达1(2018天津，6)将函数ysin 2x5 的图象向右平移 10个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间34，54 上单调递增 B在区间34，上单调递减 C在区间54，32 上单调递增 D在区间32，2 上单调递减【答案】A【解析】函数ysin2x5 的图象向右平移 10个单位长度后对应的解析式为ysin2x 10 5 sin 2x，则函数ysin 2x的一个单调增区间为 34，54
16、，一个单调减区间为 54，74.由此可判断选项A正确 2(2017 全国，9)已知曲线 C1：ycos x，C2：ysin2x23，则下面结论正确的是()A把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线 C2 B把 C1 上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线 C2 C把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6个单位长度，得到曲线C2 D把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 12个单位长度，得到曲线C2【答案】
17、D【解析】把C1上各点的横坐标缩短到原来的 12，纵坐标不变，得到函数ycos 2x的图象；再把得到的曲线向左平移 12 个单位长度，得到函数ycos 2x 12 cos2x6 sin2x23 的图象，即曲线C2.故选D.3(2017全国，6)设函数f(x)cos x3，则下列结论错误的是()Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x83 对称 Cf(x)的一个零点为x6 Df(x)在2，上单调递减【答案】D【解析】A函数的周期为2k(kZ)，当k1时，周期T2，故A正确；B.当x83 时，cosx3 cos83 3 cos 93 cos 31为最小值，此时yf(x)的图象关于直线
18、x 83对称，故B正确；C.当x6时，f6 cos63 cos 32 0，则f(x)的一个零点为x6，故C正确；D当2x时，56 x343，此时函数f(x)不是单调函数，故D错误故选D.4(2016全国，7)若将函数y2sin 2x的图象向左平移 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为()Axk2 6(kZ)Bxk2 6(kZ)Cxk2 12(kZ)Dxk2 12(kZ)【答案】B【解析】将函数y2sin 2x的图象向左平移 12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y2sin 2x 12.令2x 12 k2(kZ)，解得x k2 6(kZ)，故所求对称轴的方程为x k2 6(kZ)故选B.5(2018江苏，7)已知函数ysin(2x)22 的图象关于直线x3对称，则的值为_【答案】6【解析】由题意得f3 sin23 1，23k2，kZ，k6，kZ.2，2，取k0得6.
