1、压轴大题突破练(二)直线与圆锥曲线(2)1(2016浙江)如图,设椭圆y21(a1)(1)求直线ykx1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围解(1)设直线ykx1被椭圆截得的线段为AM,由得(1a2k2)x22a2kx0,故x10,x2,因此AM|x1x2|.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足APAQ.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k20,k1k2.由(1)知,AP,AQ,故,所以(kk)1kka2(2a2)kk0.由于k1k2,k1,k2
2、0得1kka2(2a2)kk0,因此1a2(a22)因为式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1a2(a22)1,所以a.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1a,由e,得00)交于A,B两点,且3,其中O为坐标原点(1)求p的值;(2)当AM4BM最小时,求直线l的方程解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为xmy.联立消去x,得y22pmyp20.y1y22pm,y1y2p2.3,x1x2y1y23.又x1x2,p23p24.p0,p2.(2)由抛物线定义,得AMx1x11,BMx2x21,AM4BMx14x25259,当且仅当x14x
3、2时取等号将x14x2代入x1x21,得x2(负值舍去)将x2代入y24x,得y2,即点B.将点B代入xmy1,得m.直线l的方程为xy1,即4xy40.3已知动点S(x,y)到直线l:x2的距离是它到点T(,0)的距离的倍. (1)求动点S的轨迹C的方程;(2)设轨迹C上一动点P满足:2,其中M,N是轨迹C上的点,直线OM与ON的斜率之积为,若Q(,)为一动点,E1(,0),E2(,0)为两定点,求QE1QE2的值解 (1) 点S(x,y)到直线x2的距离,是到点T(,0)的距离的倍,则|x2| ,化简得1.所以轨迹C的方程为1.(2)设P(x,y),M(x1,y1),N(x2,y2),则2
4、,即xx12x2,yy12y2,因为点P,M,N在椭圆1上,所以x2y4,x2y4,x22y24,故x22y22(x2y)42(x2y)4(x1x22y1y2)421624(x1x22y1y2)4,设kOM,kON分别为直线OM,ON的斜率,由题意知,kOMkON,因此x1x22y1y20,所以2421,所以点Q是椭圆2421上的点,而E1,E2恰为该椭圆的左,右焦点,所以由椭圆的定义可得,QE1QE22.4已知曲线C上任意一点P到两定点F1(1,0)与F2(1,0)的距离之和为4.(1)求曲线C的方程;(2)设曲线C与x轴负半轴交点为A,过点M(4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点
5、(B在M、C之间),N为BC中点证明:kkON为定值;是否存在实数k,使得F1NAC?如果存在,求直线l的方程,如果不存在,请说明理由(1)解由已知可得:曲线C是以两定点F1(1,0)和F2(1,0)为焦点,长轴长为4的椭圆,所以a2,c1b,故曲线C的方程为1.(2)证明设过点M的直线l的方程为yk(x4),设B(x1, y1),C(x2, y2)(x2x1)联立方程组得(4k23)x232k2x64k2120,则故xN,yNk(xN4).所以kON,所以kkON为定值解若F1NAC,则kACkF1N1,因为F1(1,0),kF1N,因为A(2,0),kAC,故1,代入y2k(x24)得x228k2,y22k8k3,而x22,故只能k0,显然不成立,所以这样的直线不存在