1、第16练导数的综合应用题型一利用导数研究函数图象例1下面四个图象中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函数yf(x)的图象，则f(1)_.破题切入点先求出函数f(x)的导函数，确定导函数图象，从而求出a的值然后代入1求得函数值答案或解析f(x)x22axa21，f(x)的图象开口向上，则排除若图象不过原点，则f(x)的图象为，此时a0，f(1)；若图象过原点，则f(x)的图象为，此时a210，又对称轴xa0，a1，f(1).题型二利用导数研究函数的零点或方程的根例2设函数f(x)x3ax2ax，g(x)2x24xc.(1)试判断函数f(x)的零点个数；(2)若a1，当x3
2、,4时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围破题切入点(1)对f(x)求导找出极值点、对a讨论看图象与x轴交点的个数(2)结合两个函数的图象求解解(1)f(x)x3ax2axx(x2axa)，令f(x)0，得x0或x2axa0.(*)显然方程(*)的根的判别式(a)24(a)a2aa(a)当a0时，0，方程(*)有两个非零实根，此时函数f(x)有3个零点；当a时，0，方程(*)有两个相等的非零实根，此时函数f(x)有2个零点；当a0时，0，方程(*)有两个相等的零实根，此时函数f(x)有1个零点；当a0时，0，方程(*)没有实根，此时函数f(x)有1个零点综上所述：当a0时
3、，函数f(x)有3个零点；当a时，函数f(x)有2个零点；当a0时，函数f(x)只有1个零点(2)设f(x)g(x)，则x3ax2ax2x24xc，因为a1，所以cx3x23x.设F(x)x3x23x，x3,4，则F(x)x22x3，令F(x)0，解得x11，x23.当x变化时，F(x)和F(x)的变化情况如下表：x3(3，1)1(1，3)3(3，4)4F(x)00F(x)99由此可知F(x)在3，1，3,4上是增函数，在1,3上是减函数当x1时，F(x)取得极大值F(1)；当x3时，F(x)取得极小值F(3)9，而F(3)9，F(4).如果函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，则函数F(
4、x)与yc的图象有两个公共点，所以c3)千元设该容器的建造费用为y千元(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.破题切入点考查圆柱及球的表面积与体积求法，函数关系式的建立及实际问题中定义域的求解，通过求导判断函数的单调性，从而确定函数的最值等问题解(1)设容器的容积为V，由题意知Vr2lr3，又V，故lr(r)由于l2r，因此0r2.所以建造费用y2rl34r2c2r(r)34r2c，因此y4(c2)r2，0r2.(2)由(1)得y8(c2)r(r3)，03，所以c20.当r30时，r .令 m，则m0，所以y(rm)(r2rmm2)当0m时，当r
5、m时，y0；当r(0，m)时，y0，所以rm是函数y的极小值点，也是最小值点当m2，即3c时，当r(0,2)时，y0，函数单调递减，所以r2是函数y的最小值点综上所述，当3时，建造费用最小时r .总结提高(1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题，一般都是先求导得出函数的单调性与极值，然后再画出函数的大致图象(2)利用导数解决实际问题要注意：函数的定义域；极值和最值的区别；最后还原到实际问题中作答1已知f(x)x36x29xabc，ab0；f(0)f(1)0；f(0)f(3)0.其中正确结论的序号是_答案解析f(x)x36x29xabc，ab0，f(3)275427abcabc0，且f(
6、0)abcf(3)0，所以f(0)f(1)0.2.若函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则yf(x)的图象可能为_答案解析根据f(x)的符号，f(x)图象应该是先下降后上升，最后下降，排除；从适合f(x)0的点可以排除.3已知aln x对任意x，2恒成立，则a的最大值为_答案0解析设f(x)ln x，则f(x).当x，1)时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增，f(x)minf(1)0，a0，即a的最大值为0.4函数f(x)的定义域是R，f(0)2，对任意xR，f(x)f(x)1，则不等式exf(x)ex1的解集为_答案(0，)解析构造函数g(x)exf(x)ex，因为
7、g(x)exf(x)exf(x)exexf(x)f(x)exexex0，所以g(x)exf(x)ex为R上的增函数又因为g(0)e0f(0)e01，所以原不等式转化为g(x)g(0)，解得x0.5关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x2时，f(x)0；当0x2时，f(x)0.所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(0)a，当x2时，f(x)取得极小值，即f(2)4a.所以解得4a0.6已知函数f(x)的定义域为
8、1,5，部分对应值如下表，f(x)的导函数yf(x)的图象如图，下列关于函数f(x)的四个命题：x1045f(x)1221函数yf(x)是周期函数；函数f(x)在0,2上是减函数；如果当x1，t时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数yf(x)a有4个零点其中真命题的个数是_答案1解析首先排除，不能确定周期性；f(x)在0,2上时，f(x)0)，为使耗电量最小，则速度应定为_答案40解析yx239x40，令y0.即x239x400，解得x40或x1(舍)当x40时，y0，当0x40时，y0，所以当x40时，y最小9把一个周长为12 cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最
9、大时，该圆柱的底面周长与高的比为_答案21解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r，圆柱体积V2x(x312x236x)(0x0，又由h0可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大11(2013江苏)已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t
10、11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)解令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0.所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0.故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数，所以h(x)在(0，)上的最小值是h(e1)注意到h(1)h(e)0，所以
11、当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.12(2013陕西)已知函数f(x)ex，xR.(1)求f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程；(2)证明：曲线yf(x)与曲线yx2x1有唯一公共点；(3)设ab，比较f与的大小，并说明理由(1)解f(x)的反函数为g(x)ln x，设所求切线的斜率为k，g(x)，kg(1)1.于是在点(1,0)处
12、的切线方程为yx1.(2)证明方法一曲线yex与yx2x1公共点的个数等于函数(x)exx2x1零点的个数(0)110，(x)存在零点x0.又(x)exx1，令h(x)(x)exx1，则h(x)ex1，当x0时，h(x)0时，h(x)0，(x)在(0，)上单调递增(x)在x0处有唯一的极小值(0)0，即(x)在R上的最小值为(0)0.(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上是单调递增的，(x)在R上有唯一的零点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点方法二ex0，x2x10，曲线yex与yx2x1公共点的个数等于曲线y与y1公共点的个数，设(x)，则(0)1，即x0时，两曲线有公共点又(x)0(仅当x0时等号成立)，(x)在R上单调递减，(x)与y1有唯一的公共点，故曲线yf(x)与yx2x1有唯一的公共点(3)解feee(ba)设函数u(x)ex2x(x0)，则u(x)ex2220，u(x)0(仅当x0时等号成立)，u(x)单调递增当x0时，u(x)u(0)0.令x，则ee(ba)0，f.
