1、北京东城区普通校20122013学年高三第一学期联考数学（理）试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。祝各位考生考试顺利！第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的选出符合题目要求的一项填在机读卡上1 若集合，且，则集合可能是A B C D 【答案】A【解析】因为，所以，因为，所以答案选A.2 复数在复平面上对应的点的坐标是A B C D【答案】D【解析】复数，所以对应的点位,选D.3 已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是A B
2、 C D 【答案】B【解析】根据线面垂直的性质可知，B正确。4 一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为）， 则该棱锥的体积是A B C D 【答案】A【解析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A. 5设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为A B C D 【答案】C【解析】做出约束条件对应的可行域如图，由得。做直线，平移直线得当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，所以最大值，选C.6已知数列为等比数列，则的值为A B C D 【答案】D【解析】在等比数列
3、中，所以公比，又，解得或。由，解得，此时。由，解得，此时，综上，选D.7 已知函数在上是增函数，若，则的取值范围是 AB CD 【答案】B【解析】因为，所以函数为偶函数，因为函数在上是增函数，所以当时，此时为减函数，所以当，函数单调递增。因为，所以有，解得，即，选B.8设、分别为双曲线的左、右焦点若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A B CD 【答案】D【解析】依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知，根据双曲定义可知4b2c=2a，整理得c=2ba，代入c2=a2+b2整
4、理得3b24ab=0，求得=双曲线渐进线方程为，即。故选D.第卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9已知，且为第二象限角，则的值为 【答案】【解析】因为为第二象限角，所以。10已知向量若为实数，则的值为 【答案】【解析】，因为，所以，解得。11椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为 【答案】【解析】椭圆的，所以。因为，所以，所以。所以,所以。12若曲线的某一切线与直线平行，则切点坐标为 ，切线方程为 【答案】，【解析】函数的导数为，已知直线的斜率，由，解得切点的横坐标，所以，即切点坐标为，切线方程为，即。13 若，则下列不等式对一切满足条件的恒成立的是 （
5、写出所有正确命题的编号）； ； ； ； 【答案】，【解析】对于命题由，得，命题正确；对于命题令时，不成立，所以命题错误；对于命题，命题正确；对于命题令时，不成立，所以命题错误；对于命题，命题正确所以正确的结论为，14 已知函数在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为 【答案】【解析】，表示点与点连线的斜率，因为，所以，即函数图象在区间内任意两点连线的斜率大于1，即在内恒成立。由定义域可知，所以，即，所以成立。设，则，当时，函数的最大值为15，所以，即的取值范围为。三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分分）已知：在中, 、分别
6、为角、所对的边，且角为锐角，（）求的值；（）当，时，求及的长 16（本小题满分分） 已知：函数的部分图象如图所示（）求 函 数的 解 析 式；（）在中，角的 对 边 分 别 是，若的 取 值 范 围17（本小题满分分） 已知：如图，在四棱锥中，四边形为正方形，且，为中点（）证明：/平面；（）证明：平面平面；（）求二面角的正弦值18（本小题满分13分） 已知：数列的前项和为，且满足，（）求：，的值；（）求：数列的通项公式；（）若数列的前项和为，且满足，求数列的前项和19（本小题满分14分） 已知：函数，其中（）若是的极值点，求的值；（）求的单调区间；（）若在上的最大值是，求的取值范围20（本小题
7、满分分）已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为（）求椭圆的方程；（）已知动直线与椭圆相交于、两点 若线段中点的横坐标为，求斜率的值；若点，求证：为定值参考答案（以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分）一、选择题1 A 2 D 3 B 4 A 5 C 6 D 7 B 8 D二、填空题9 10 11 12（1，2）， 13 14 15（本小题满分分）解：（）解：因为cos2C=1-2sin2C=，及所以sinC= 4分（）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理，得c=4 7分由cos2C=2cos2C-1=，及得 cosC= 9分 由余弦定理c
8、2=a2+b2-2abcosC，得b2b-12=0 12分解得 b=2 13分16（本小题满分分）解：（）由图像知，的最小正周期，故 2分 将点代入的解析式得，又 故 所以 5分 （）由得 所以8分 因为 所以 9分 11分13分17（本小题满分分）解： （）证明：连结BD交AC于点O，连结EO 1分O为BD中点，E为PD中点，EO/PB 2分EO平面AEC，PB平面AEC， 3分 PB/平面AEC （）证明： PA平面ABCD平面ABCD， 4分又在正方形ABCD中且， 5分CD平面PAD 6分又平面PCD，平面平面 7分（）如图，以A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系
9、8分由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为A（0, 0, 0）, B（2, 0, 0）,C（2, 2, 0）, D（0, 2, 0）, P（0, 0, 2）, E（0, 1, 1） 9分PA平面ABCD，是平面ABCD的法向量，=（0, 0, 2）设平面AEC的法向量为, , 则 即 令,则 11分, 12分二面角的正弦值为 13分18（本小题满分13分）解：（） 令 ，解得；令，解得 2分 （） 所以，（） 两式相减得 4分 所以，（） 5分 又因为 所以数列是首项为，公比为的等比数列 6分 所以，即通项公式 （） 7分（），所以 所以 9分 令 得 11分 12分 所以 1
10、3分19（本小题满分14分）（）解： 依题意，令，解得 经检验，时，符合题意 4分 （）解： 当时， 故的单调增区间是；单调减区间是 5分 当时，令，得，或当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调减区间是 当时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是和 当时，的单调增区间是；单调减区间是 综上，当时，的增区间是，减区间是；当时，的增区间是，减区间是和；当时，的减区间是；当时，的增区间是；减区间是和 11分（）由（）知 时，在上单调递增，由，知不合题意 当时，在的最大值是，由，知不合题意 当时，在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意 所以，在上的最大值是时，的取值范围是 14分20（本题满分分）解：（）因为满足， ，2分。解得，则椭圆方程为 4分（）（1）将代入中得6分 7分因为中点的横坐标为，所以，解得9分（2）由（1）知，所以 11分12分
