1、第2课时二项式系数的性质A级必备知识基础练1.已知(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,则二项式系数和是()A.212B.211C.210D.292.已知(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a6x6+a7x7,则a0-a1+a2-+a6-a7=()A.1B.-1C.2D.-23.在1x+51x3n的展开式中,所有奇数项二项式系数之和为1 024,则中间项系数是()A.330B.462C.682D.7924.若二项式12-xn的展开式中所有项的系数的绝对值的和为72964,则展开式中二项式系数最大的项为()A.-52x3B.154x4C.-20x3D.15x45.(多选题
2、)下列关于(a+b)10的说法中正确的是()A.展开式中的各二项式系数之和为1 024B.展开式中第6项的二项式系数最大C.展开式中第5项与第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小6.已知(a-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5,若a2=80,则a0+a1+a2+a5=.7.(x-2y)100展开式的各项系数之和为.B级关键能力提升练8.在x2-13xn的二项展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则此展开式中各项系数绝对值之和为()A.129B.329C.128D.3289.(2022江苏常熟高二期中)若(1+x)3(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a7x7,则a0+a2
3、+a4+a6=()A.8B.6C.5D.410.(多选题)关于x-2x6的展开式,则()A.所有项的二项式系数和为128B.所有项系数和为1C.常数项为70D.二项式系数最大的项为第4项11.(多选题)在二项式(1-4x)8的展开式中,下列结论正确的是()A.第5项的系数最大B.所有项的系数和为38C.所有奇数项的二项式系数和为-27D.所有偶数项的二项式系数和为2712.(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=.13.(2022江苏连云港灌云高二期中)在a1=35;Cm0+Cm1+Cmm=32(mN+);展开式中二项式系数最大值为7m这三个条件中任选一个,补充在
4、下面问题中.已知(1+mx)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,且.(1)求m的值;(2)求a1+a3+a5+a7的值(结果可以保留指数形式).C级学科素养创新练14.(多选题)(2022福建龙岩高二期末)对任意实数x,有(2x-3)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a7(x-1)7.则下列结论成立的是()A.a0=-1B.a2=84C.a0-a1+a2-+a6-a7=-37D.|a0|+|a1|+|a7|=37参考答案第2课时二项式系数的性质1.A因为(1+x)n的展开式中,第3项与第11项的二项式系数相等,即Cn2=Cn10,所以n=12,故(1+x)n的二项式系数和是212.
5、故选A.2.B因为(1+2x)7=a0+a1x+a2x2+a6x6+a7x7,令x=-1,得a0-a1+a2-+a6-a7=1+2(-1)7=-1,故选B.3.B二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n,而所有偶数项的二项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等,故由题意得2n-1=1024,解得n=11.即二项展开式共12项,中间项为第6项、第7项,其系数为C115=C116=462.4.A令x=-1,可得展开式中系数的绝对值的和为32n=72964,解得n=6.即二项式12-xn的展开式中有7项,所以二项式12-x6展开式中二项式系数最大的为第4项,T4=C63123(-1)3x3=-5
6、2x3.故选A.5.AB根据二项式系数的性质,知(a+b)10的展开式中各二项式系数之和为210=1024,故A正确;(a+b)10的展开式中,二项式系数最大的项是中间项,即第6项的二项式系数最大,故B正确,C错误;易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等,故第6项的系数最大,故D错误.故选AB.6.1(a-x)5二项展开式的通项为Tr+1=(-1)rC5ra5-rxr.令r=2,得a2=(-1)2C52a3=80,解得a=2,即(2-x)5=a0+a1x+a2x2+a5x5.令x=1,得a0+a1+a2+a5=1.7.0令x=y=1,则(1-2)100=1,故(x-2y)100展开式的各项
7、系数之和为1.8.D只有第5项的二项式系数最大时,二项展开式共9项,则n=8.x2-13x8各项系数绝对值之和即为x2+13x8的各项系数的和.令x=1,可得各项系数绝对值之和为328.故选D.9.D令x=1,可得a0+a1+a2+a7=(1+1)3(1-2)4=8,令x=-1,可得a0-a1+a2+-a7=(1-1)3(1+2)4=0,两式相加可得,2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4,故选D.10.BD二项式系数和C60+C61+C62+C63+C64+C65+C66=26=64,故A错误;令x=1,得所有项的系数和为1,故B正确;二项式x-2x6展开式的通项为
8、Tr+1=C6rx6-r2-2xr=C6rx6-3r2(-2)r,令6-3r=0,解得r=2,则常数项为T3=C62(-2)2=60,故C错误;由题可得,二项式系数最大的项为第4项,故D正确.故选BD.11.BD在二项式(1-4x)8的展开式中,第9项的系数为C88(-4)8=48,第5项的系数为C84(-4)4=7044,487044=256701,故A错误;在二项式(1-4x)8的展开式中,令x=1,得所有项的系数和为(-3)8=38,故B正确;因为二项式(1-4x)8的展开式中,所有奇数项的二项式系数和等于所有偶数项的二项式系数和,为1228=27,故C错误,D正确.故选BD.12.3设
9、f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a5x5,令x=1,则a0+a1+a2+a5=f(1)=16(a+1),令x=-1,则a0-a1+a2-a5=f(-1)=0,-得,2(a1+a3+a5)=16(a+1),所以232=16(a+1),解得a=3.13.解(1)若选条件,由题得,ar=C7rmr,0r7.又a1=35,所以C71m=35,解得m=5.若选条件,因为Cm0+Cm1+Cmm=32(mN+),所以2m=32,解得m=5.若选条件,因为展开式中二项式系数最大值为7m,所以C73=C74=7m,解得m=5.(2)由(1)可知(1+5x)7=a0+a1x+a2x2+a
10、7x7.令x=1,可得67=a0+a1+a2+a7,令x=-1,可得(-4)7=a0-a1+a2-a7,-可得2(a1+a3+a5+a7)=67+47,所以a1+a3+a5+a7=67+472.14.ACD(2x-3)7=-1+2(x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a7(x-1)7,则(2x-3)7的通项为Tr+1=C7r(-1)7-r2(x-1)r=C7r(-1)7-r2r(x-1)r,故a0,a2,a4,a6均小于0,且a1,a3,a5,a7均大于0.令x=1,可得a0=-1,故A正确;a2=C72(-1)522=-84,故B错误;令x=0,可得a0-a1+a2-+a6-a7=-37,故C正确;|a0|+|a1|+|a7|=-a0+a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-+a6-a7)=37,故D正确.故选ACD.
