1、等比数列的前n项和 (20分钟35分)1.(2020太原高一检测)若各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,a1a5=81,a2=3,则S5=()A.121B.122C.123D.124【解析】选A.因为a1a5=81,所以a3=9.又a2=3,所以q=3,a1=1,故S5=121.【补偿训练】 设等比数列an的前n项和为Sn,若a2=,a4=,则S3=()A.或-B.C.D.-【解析】选A.因为a2=,a4=,所以q2=,即q=,当q=时,a1=,则S3=+=,当q=-时,a1=-,则S3=-+-=-.2.(2020郑州高一检测)已知等比数列an的前k项和为12,前2k项和为48,则前4
2、k项和为()A.324B.480C.108D.156【解析】选B.由等比数列的前n项和及其性质可得:(48-12)2=12(S3k-48),解得:S3k=156.(156-48)2=(48-12)(S4k-156),解得:S4k=480.3.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2【解析】选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.4.已知等比数列an的前
3、n项和为Sn=x3n-1-,则x的值为.【解析】显然q1,此时应有Sn=A(qn-1),又Sn=(2x3n-1),所以x=.答案:5.一个七层的塔,每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍,一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是.【解析】设底层所点灯为x盏,则x+=381,所以x=381,解得x=192.答案:1926.等比数列an中,a1=2,a7=4a5.(1)求an的通项公式;(2)记Sn为an的前n项和.若Sm=126,求m.【解析】(1)设数列an的公比为q,所以q2=4,所以q=2,所以an=2n或an=-(-2)n.(2)由(1)知Sn=2n+1-2或Sn=1-(-2)n,所以2m
4、+1-2=126或1-(-2)m=126(舍去),解得m=6.【补偿训练】 已知等差数列an满足a5=13,a1+a3=8.(1)求an的通项公式;(2)设Sn是等比数列bn的前n项和.若b1=a1,b3=a4-1,求S6.【解析】(1)设等差数列an的公差为d,又等差数列an满足a5=13,a1+a3=8,所以,解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2.(2)设等比数列bn的公比为q,又等比数列bn中,b1=a1=1,b3=a4-1=9,所以q2=9,解得q=3.当q=-3时,S6=-182;当q=3时,S6=364. (30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1
5、.在公比为2的等比数列an中,前n项和为Sn,且S7-2S6=1,则a1+a5=()A.5B.9C.17D.33【解析】选C.由Sn+1=a1+=a1+qSn,因为S7-2S6=1,q=2,所以a1=1.所以a1+a5=1+24=17.2.在等比数列an中,Sn为数列an的前n项和,S2=3,S4=9,则S6=()A.12B.18C.21D.27【解析】选C.设数列an的公比为q,因为S2=3,S4=9,所以S4-S2=6,所以q-1,所以S2,S4-S2,S6-S4成以S2为首项,2为公比的等比数列,所以S6-S4=S222=12,所以S6=S2+(S4-S2)+(S6-S4)=3+6+12
6、=21.3.等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn,已知S3=,S6=,则a8的值是()A.28B.32C.35D.41【解析】选B.设等比数列an的公比为q1,因为S3=,S6=,所以(1-q3)=,(1-q6)=,解得a1=,q=2.则a8=27=32.4.(2020全国卷)数列中,a1=2,am+n=aman,若ak+1+ak+2+ak+10=215-25,则k=()A.2B.3C.4D.5【解析】选C.取m=1,则an+1=a1an,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则an=2n,所以ak+1+ak+2+ak+10=2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.5.公元前5
7、世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1 000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先他1米所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为()A.B.C.D.【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米
8、)为S5=.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等比数列an共有2n项,它的全部各项的和是奇数项的和的3倍,则公比q=.【解析】设an的公比为q,由已知可得q1,则奇数项也构成等比数列,其公比为q2,首项为a1,S2n=,S奇=.由题意得=,所以1+q=3,所以q=2.答案:27.已知数列an是单调递减的等比数列,前n项和为Sn,S2=3,a3=,则an的公比q=.【解析】因为S2=3,a3=,所以+=3,则an的公比q=-,或.因为数列an是单调递减的等比数列,所以取q=.答案:【补偿训练】 已知等比数列an的前n项和为Sn,若S3=7,S6=63,则an=.【解析】因为等比数列an的前n
9、项和为Sn,S3=7,S6=63,所以,解得a1=1,q=2,所以an=2n-1.答案:2n-18.如图,最大的三角形是边长为2的等边三角形,将这个三角形各边的中点相连得到第二个三角形,依此类推,一共得到10个三角形,则这10个三角形的面积的和为.【解析】设以2为边长的等边三角形的面积为a1,根据题意,设得到的第n个等边三角形的面积为an,则an是以a1=22=为首项,以q=为公比的等比数列,因为公比q1,故这10个三角形的面积和为S10=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知等比数列an的前n项和为Sn,且公比q1,若a2=2,S3=7.(1)求通项公式an及Sn;(2)求+的
10、值.【解析】(1)因为a2=2,S3=7,由S3=+2+2q=7,解得q=2或q=,又因为q1,所以q=2,故a1=1,所以an=2n-1,Sn=2n-1.(2)因为an=2n-1,所以=4n-1,所以+=.10.设数列an的前n项和为Sn,且Sn=2an-2,nN*.(1)求证:数列an为等比数列;(2)设数列的前n项和为Tn,求证:为定值.【证明】(1)因为Sn=2an-2,nN*,所以Sn-1=2an-1-2,nN*,n2,所以an=2an-2an-1,n2,an=2an-1,n2.又a1=S1=2a1-2,所以a1=2.所以=2,n2.所以数列an是首项为2,公比为2的等比数列.(2)由(1)知,an=2n,所以=4n.所以=4,所以数列是首项为4,公比为4的等比数列,所以Tn=(4n-1).又S2n=2(4n-1),所以=.即为定值.记Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.【解析】(1)设an的公比为q.由题设可得 解得q=-2,a1=-2.故an的通项公式为an=(-2)n.(2)由(1)可得Sn=-+(-1)n.由于Sn+2+Sn+1=-+(-1)n=2=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.
