1、1.3等比数列1.3.1等比数列及其通项公式A级必备知识基础练1.(2022天津河西高二期末)数列1,-22,12,-24,14,的一个通项公式为()A.-12n-1B.-22nC.(-1)n22n-1D.(-1)n+122n-12.(2022天津河东高二期末)已知等比数列an,a3=1,a5=2,则首项a1=()A.14B.12C.22D.03.(2022宁夏石嘴山一中高二月考)等比数列an的前三项分别为1,2x+1,x+2,且该数列为递增数列,则该数列第4项为()A.2B.38C.1D.2784.(2022北京丰台高二期末)已知等比数列an满足a1=-1,a4=8,则a7等于()A.32B
2、.-32C.64D.-645.(2022湖南郴州高二期末)九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题:“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如:甲、乙、丙、丁“衰分”得100,60,36,21.6个单位,衰分比为40%.今共有粮m(m0)石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,衰分比为20%,已知乙衰分得100石,则丁衰分得()A.90石B.80石C.51.2石D.64石6.(多选题)在等比数列an中,a3+a4=4,a2=2,则公比q的取值可以为()A.-2B.2C.1D.-17.如果-1,a,b,c,-16成等比数列,那么ac=,b=.8.“一尺之棰,日取其半
3、,万世不竭”这句话出自庄子天下篇,其意思为“一根一尺长的木棰,每天截取一半,永远都取不完”.设第一天这根木棰被截取一半剩下a1尺,第二天被截取剩下的一半剩下a2尺,第五天被截取剩下的一半剩下a5尺,则a1+a2a5=.9.数列an,bn满足下列条件:a1=0,a2=1,an+2=an+an+12(nN+),bn=an+1-an.(1)求证:bn是等比数列;(2)求bn的通项公式.B级关键能力提升练10.(2022重庆八中高二期末)“巴赫十二平均律”是世界上通用的音乐律制,它与五度相生律、纯律并称三大律制.“十二平均律”将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的
4、频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f,则第五个单音的频率为()A.5fB.2512fC.4fD.213f11.(多选题)(2022吉林一中高二期中)已知等比数列an,若4a1,a3,2a2成等差数列,则公比q的取值可以为()A.1B.-2C.2D.-112.现存入银行8万元,年利率为2.50%,若采用一年期自动转存业务,则第十年末的本利和为()A.81.0258万元B.81.0259万元C.81.02510万元D.81.02511万元13.(2022湖南长沙四校高二联考)在各项均不为0的数列an中,对任意nN+,都有an+1-2an=0,则2a1+a22a3+a4
5、等于()A.14B.13C.12D.114.(2022广东广州高二期末)在等比数列an中,已知a1+a2+a3=6,a4+a5+a6=-3,则a7+a8+a9=()A.24B.32C.34D.-27815.在数列an中,a1=12,am+n=aman(m,nN+),则a6=.16.已知数列an和bn满足:a1=,an+1=23an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中为实数,n为正整数.(1)对任意实数,证明数列an不是等比数列;(2)试判断是否存在实数,使数列bn为等比数列,并证明你的结论.C级学科素养创新练17.在等比数列an中,a1+a3=10,a2+a4=-5,则公比q=
6、;若an1,则n的最大值为.参考答案1.3等比数列1.3.1等比数列及其通项公式1.D根据题意可知,该数列是一个以1为首项,-22为公比的等比数列,所以该数列的通项公式为1-22n-1=(-1)n-122n-1=(-1)n+122n-1.2.B设等比数列的公比为q,则a3=a1q2=1,a5=a1q4=2,解得q2=2,所以a1=1q2=12.故选B.3.D由题意得(2x+1)2=x+2,解得x=14或x=-1.当x=14时,前三项分别为1,32,94,满足题意,则第4项为278;当x=-1时,前三项分别为1,-1,1,不满足题意.故选D.4.D根据题意,设等比数列an的公比为q,若a1=-1
7、,a4=8,则有q3=a4a1=-8,解得q=-2,故a7=a1q6=-64,故选D.5.D依题意丁衰分得100(1-20%)2=64石,故选D.6.AC根据题意,得a1q2+a1q3=4,a1q=2,解得a1=2,q=1或a1=-1,q=-2.7.16-4设-1,a,b,c,-16构成等比数列an,公比为q,则a1=-1,a5=-16,q4=a5a1=16,q2=4,则b=a3=a1q2=-4,ac=b2=16.8.24由题意可知,a1,a2,a3,成等比数列,且公比为12,首项为12,所以a1+a2a5=12+14132=24.9.(1)证明an+2=an+an+12,bn+1bn=an+
8、2-an+1an+1-an=an+an+12-an+1an+1-an=-12.bn是等比数列.(2)解b1=a2-a1=1,公比q=-12,bn=1-12n-1=-12n-1.10.D由题设可得依次得到的十三个单音的频率构成首项为f,公比为122的等比数列an,a5=f(122)4=213f,故选D.11.CD因为在等比数列an中,4a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=2a1+a2,即q2-q-2=0,解得q=2或q=-1,故选CD.12.C由题意得,每年末的本利和依次构成以1+2.50%=1.025为公比,81.025为首项的等比数列,所以第十年末的本利和为81.0251.02510-1
9、=81.02510万元.13.A由an+1-2an=0,得an+1an=2,即数列an是以2为公比的等比数列,则2a1+a22a3+a4=2a1+a22a122+a222=2a1+a24(2a1+a2)=14.故选A.14.B设等比数列an的公比为q,则a4+a5+a6=q3(a1+a2+a3),即6q3=-3,可得q3=-12,因此a7+a8+a9=q3(a4+a5+a6)=-12(-3)=32.故选B.15.164m,nN+,am+n=aman,且a1=12,令m=1,则an+1=a1an=12an,即数列an是首项为12,公比为12的等比数列,所以an=a1qn-1=1212n-1=12
10、n,故a6=126=164.16.(1)证明假设存在一个实数,使an是等比数列,则有a22=a1a3,即23-32=49-4492-4+9=492-49=0,矛盾.所以对任意实数,an不是等比数列.(2)解因为bn+1=(-1)n+1an+1-3(n+1)+21=(-1)n+123an-2n+14=-23(-1)n(an-3n+21)=-23bn,又b1=-(+18),所以当=-18时,bn=0(nN+),此时bn不是等比数列;当-18时,b1=-(+18)0,由上可知bn0,bn+1bn=-23(nN+),此时bn是以-(+18)为首项,-23为公比的等比数列.故当-18时,bn为等比数列.17.-123因为a1+a3=10,a2+a4=-5,所以q=a2+a4a1+a3=-510=-12.由a1+a3=a1+q2a1=10,解得a1=8,所以an=a1qn-1=8-12n-1.所以当n为偶数时,an0.要使an1,所以4-n0且n为奇数,所以n=1或n=3.故n的最大值为3.
