1、二十四函数的奇偶性【基础全面练】(15分钟35分)1.(2021哈尔滨高一检测)下列函数中是奇函数的为()Ayx1 Byx2Cy|x| Dyx【解析】选D.对于A选项，函数yx1为非奇非偶函数；对于B选项，函数yx2为偶函数；对于C选项，函数y|x|的定义域为R，且|x|，函数y|x|为偶函数；对于D选项，函数yx为奇函数2(2021南京高一检测)若函数f(x)为R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x24x，则f(1)的值为()A6 B6 C2 D2【解析】选D.因为f(x)为R上的奇函数，所以f(1)f(1)(24)2.3若函数f(x)为奇函数，则a()A B C D1【解题指南】利用奇函数
2、的定义得到f(1)f(1)，列出方程求出a.【解析】选A.因为f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)，所以，所以1a3(1a)，解得a.4设偶函数f(x)的定义域为5，5，若当x0，5时，f(x)的图像如图所示，则函数f(x)的单调减区间为_【解析】作出函数f(x)的图像如图：故单调减区间为5，4，1，0，1，4.答案：5，4，1，0，1，45若f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1，2a，则a_，b_【解析】因为f(x)ax2bx3ab是偶函数，且定义域为a1，2a，所以a12a0，解得a，且f(x)ax2bx3abf(x)ax2bx3ab，所以b0.答案：06判断下列函数的奇偶性
3、：(1)f(x).(2)f(x)3x21.(3)f(x).(4)f(x)【解析】(1)f(x)的定义域是(，1)(1，)，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数(2)f(x)3x21的定义域是R，f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)f(x)的定义域是1，0)(0，1，所以解析式可化简为f(x)，满足f(x)f(x)，所以f(x)是奇函数(4)函数的定义域为R.当x0时，x0，则f(x)(x)1x1f(x)；当x0时，f(x)f(x)1；当x0，f(x)x1f(x).综上，对任意xR，都有f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数【综合突破练】(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)
4、1已知函数f(x)g(x)|x|，对任意的xR总有f(x)f(x)，且g(1)1，则g(1)()A1 B3 C3 D1【解析】选B.根据题意，函数f(x)g(x)|x|，对任意的xR总有f(x)f(x)，则有f(1)f(1)，即f(1)f(1)0，则有g(1)|1|g(1)|1|0，又由g(1)1，则g(1)3.2函数f(x)ax32bxab是奇函数，且其定义域为3a4，a，则f(a)()A4 B3 C2 D1【解析】选B.因为奇函数的定义域为3a4，a，所以3a4a0，得4a4，a1，则f(x)x32bx1b，又f(0)0，得f(0)1b0，则b1，即f(x)x32x，则f(a)f(1)12
5、3.3函数f(x)x3的图像关于()A坐标原点对称 Bx轴对称Cy轴对称 D直线yx对称【解析】选A.函数f(x)的定义域关于原点对称，又因为f(x)x3f(x)，所以f(x)为奇函数，其图像关于坐标原点对称4(2021北京高一检测)下列函数既是奇函数又是增函数的是()Ayx21ByCy Dyx|x|【解析】选D.对于A，函数yx21为偶函数，故A错误；对于B，函数y的定义域为，所以该函数为非奇非偶函数，故B错误；对于C，函数y在整个定义域内不单调，故C错误；对于D，函数yx|x|，所以该函数为奇函数且单调递增，故D正确二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选
6、错的得0分)5下列四个选项中不正确的是()A偶函数的图像一定与y轴相交B奇函数的图像在a，b，b，a上的单调性一定相同C偶函数的图像关于y轴对称D奇函数yf(x)(xR)的图像必过(a，f(a)【解析】选AD.偶函数的图像一定关于y轴对称，但不一定与y轴相交，例如，函数f(x)x0，其定义域为x|x0，故其图像与y轴不相交，但f(x)x01(x0)是偶函数，从而可知A是错误的，C是正确的奇函数的图像关于原点对称，若在a，b内单调递增(单调递减)，则在b，a内也为单调递增(单调递减)，故B正确若点(a，f(a)在奇函数yf(x)(xR)的图像上，则点(a，f(a)也在其图像上，故D是错误的【补偿
7、训练】 下列函数中，既是奇函数又是偶函数的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)0Df(x)【解析】选AC.A中f(x)的定义域为1，1，且f(x)0.故f(x)既是奇函数又是偶函数；C中f(x)0，定义域为R，故f(x)既是奇函数又是偶函数6(2021南京高一检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一享有“数学王子”的称号他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家用其名字命名了“高斯函数”设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数例如：3.54，2.12.已知函数f(x)，则关于函数g(x)f(x)的叙述中正确的有()Ag(x)是偶函数Bf(x)是奇函数Cg(x)的值域是1，0D
8、g(x)是R上的增函数【解析】选AC.因为f(x)，所以当x212，即x1或x1时，f(x)，g(x)f(x)0，当x212，即1x1时，f(x)，g(x)f(x)1，所以g(x)，所以g(x)为偶函数，g(x)的值域为1，0三、填空题(每小题5分，共10分)7(2021青岛高一检测)若函数f(x)(ax)(2x)(aR)是偶函数，则a_，值域为_.【解析】f(x)(ax)(2x)x2(2a)x2a，定义域为R，f(x)x2(2a)x2a.因为f(x)为偶函数，所以f(x)f(x).所以2a0，即a2.f(x)x24，因为x20，所以x244.即值域为.答案：2【补偿训练】 已知f(x)x5a
9、x3bx8，且f(2)10，则f(2)等于()A26 B18 C10 D10【解析】选A.令g(x)x5ax3bx，易知g(x)是在R上的奇函数，从而g(2)g(2)，又f(x)g(x)8，所以f(2)g(2)810，所以g(2)18，所以g(2)g(2)18.所以f(2)g(2)818826.8若函数f(x)是奇函数，则实数m_【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，即，所以x2m1x2m1，所以2m12m1，所以m.答案：四、解答题(每小题10分，共20分)9(2021南京高一检测)函数f(x)是定义在(1，1)上的奇函数，且f.(1)求函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f
10、(x)在(1，1)上是增函数；(3)解不等式f(3t1)f(t)0.【解析】(1)由题意得解得f(x)，此时f(x)f(x)，满足题意，所以f(x).(2)任取x1x2(1，1)且x1x2，f(x1)f(x2).因为1x1x20，x1x210，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(1，1)上是增函数(3)因为f(3t1)f(t)0，所以f(3t1)f(t)，因为f(x)是(1，1)上的奇函数，所以f(3t1)f(t)，由(2)知f(x)是(1，1)上的增函数，所以，0t，所以不等式的解集为.10已知函数f(x)1.(1)若g(x)f(x)a为奇函数，求a的值(2)
11、试判断f(x)在(0，)内的单调性，并用定义证明【解析】(1)由已知g(x)f(x)a，得g(x)1a.因为g(x)是奇函数，所以g(x)g(x)，即1a，解得a1.(2)函数f(x)在(0，)内是单调递增函数，证明如下：设0x1x2，则f(x1)f(x2)1.由于x1x20，从而0，即f(x1)f(x2).所以函数f(x)在(0，)内是单调递增函数【应用创新练】1f(x)为偶函数，且当x0时，f(x)2，则当x0时()Af(x)2 Bf(x)2Cf(x)2 Df(x)R【解析】选B.画出f(x)的大致图像，易知当x0时，有f(x)2.2已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)af(x)bg(x)2在(0，)上的最大值为5，则F(x)在(，0)上的最小值为_【解析】F(x)af(x)bg(x)2在(0，)上的最大值为5，且f(x)，g(x)均为奇函数，则F(x)2af(x)bg(x)在(0，)上的最大值为3.根据奇函数的性质可知F(x)2af(x)bg(x)在(，0)上的最小值为3，故F(x)af(x)bg(x)2在(，0)上的最小值为321.答案：1
