1、课后素养落实(二十五)直线的方向向量与平面的法向量(建议用时：40分钟)一、选择题1已知非零向量a，b，c分别为平面，的法向量，且ab，bc，则与的位置关系是()A垂直B平行C相交D重合A由已知得ac，故选A2若(1，2，3)，(1，3，4)，则以下向量中，能成为平面OAB的法向量的是()A(1，7，5)B(1，7，5)C(1，7，5) D(1，7，5)C经检验，只有向量(1，7，5)分别与、垂直，故选C3已知平面内有一个点M(1，1，2)，平面的一个法向量是n(2，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2，3，3) BP(2，0，1)CP(4，4，0) DP(3，3， 4)A由题意知
2、：点P在平面内nn0，经检验选项A符合题意4已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，1)C(1，1，1)D(1，1，1) C设n(x，y，z)为平面ABC的法向量，则化简得 xyz5已知直线l的一个方向向量m(2，1，3)，且直线l过A(0，y，3)和B(1，2，z)两点，则yz等于()A0B1CD3AA(0，y，3)和B(1，2，z)，(1，2y，z3)，直线l的一个方向向量为m(2，1，3)，故设km12k，2yk，z33k解得k，yzyz0二、填空题6若n是坐标平面xOy的一个法向量，则n的坐标可以表示为
3、_答案，其中z07如图所示，正四棱锥SABCD中，O为底面中心，则平面SBD的法向量与的夹角等于_45正四棱锥底面为正方形，BDAC，SOAC，又BDSOO，AC平面SBD为平面SBD的一个法向量，458下列命题：直线l的方向向量为a(1，1，2)，直线m的方向向量b，则l与m垂直；直线l的方向向量a(0，1，1)，平面的法向量n(1，1，1)，则l；平面，的法向量分别为n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，则；平面经过三点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，向量n(1，u，t)是平面的法向量，则ut1其中为真命题的是_(把你认为正确命题的序号都填上)对于，a(1，1，2)
4、，b，ab121120，ab，直线l与m垂直，正确；对于，a(0，1，1)，n(1，1，1)，an011(1)(1)(1)0，an，l或l，错误；对于，n1(0，1，3)，n2(1，0，2)，n1与n2不共线，不成立，错误；对于，点A(1，0，1)，B(0，1，0)，C(1，2，0)，(1，1，1)，(1，1，0)向量n(1，u，t)是平面的法向量，即 则ut1，正确综上，真命题的序号是三、解答题9如图，四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD为正方形且PDAD，E、F分别是PC、PB的中点(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量解(1)
5、取AD的中点M，连接MF，连接EF，E、F分别是PC、PB的中点，EFBC，又BCAD，EFAD，则由EFDM知四边形DEFM是平行四边形，MFDE，就是直线DE的一个方向向量(2)PD平面ABCD，PDBC，又BCCD，PDCDD，BC平面PCD，DE平面PCD，DEBC，又PDCD，E为PC中点，DEPC，从而DE平面PBC，是平面PBC的一个法向量，由(1)可知，就是平面PBC的一个法向量10如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，E为PD的中点，ABAP1，AD，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量解因为PA平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以
6、AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则D(0，0)，E，B(1，0，0)，C(1，0)，于是，(1，0)设n(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即 所以 令y1，则xz所以平面ACE的一个法向量为n(，1，)11若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，0，4)，则()AlBlClDl与斜交Ba(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即an，l12直线l的方向向量为a，是平行于平面内两个不共线向量，下列关系中能推出l的是()AaBakCaD以上均不能DA、B、C均表示l或l13(多选题)在直三棱柱ABCA1B1C1中，以
7、下向量可以作为平面ABC法向量的是()ABCDBCAA1平面ABC，B1B平面ABC，与可以作为平面ABC的法向量14(一题两空)如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)若AMMP，则点P形成的轨迹长度为_，点S与P距离的最小值是_由题意可知，建立空间直角坐标系，如图所示则A(0，1，0)，B(0，1，0)，S(0，0，)，M，设P(x，y，0)，则，由0得y，点P的轨迹方程为y根据圆的弦长公式，可得点P形成的轨迹长度为2由SP知，当x0时，点S与P距离的最小，其最小值为15四棱锥PABCD中，底面ABCD是一个平行四边形， (
8、2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)(1)求证：PA底面ABCD；(2)求四棱锥PABCD的体积；(3)对于向量a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，c(x3，y3，z3)，定义一种运算：(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算()的绝对值的值；说明其与四棱锥PABCD体积的关系，并由此猜想向量这一运算()的绝对值的几何意义解(1)证明：2240，APAB又4400，APADAB、AD是底面ABCD上的两条相交直线，AP底面ABCD(2)设与的夹角为，则cos ，V|sin |16(3)|()|43248|48，它是四棱锥PABCD体积的3倍猜测：|()|在几何上可表示以AB、AD、AP为棱的平行六面体的体积
