1、考点突破练3三角函数与解三角形1.(2022河南开封一模)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2(acos C+ccos A)=a+c.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若等差数列a,b,c的公差为a2,求cos B.2.(2022北京海淀一模)设函数f(x)=2sin xcos x+Acos 2x(AR).已知存在A使得f(x)同时满足下列三个条件中的两个:条件:f(0)=0;条件:f(x)的最大值为2;条件:x=8是f(x)图象的一条对称轴.(1)请写出f(x)满足的两个条件,并说明理由;(2)若f(x)在区间(0,m)上有且只有一个零点,求m的取值范围.3.(2022
2、安徽蚌埠质检)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC的面积为S,已知bcos C+ccos B+3atan(A+C)=0.(1)求B;(2)若S=932,c=6,求b.4.(2022广西柳州三模)在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知3bsin2+A=asin B.(1)求角A的大小;(2)若b,a,c成等比数列,判断ABC的形状.5.(2022广东茂名一模)如图所示,遥感卫星发现海面上有三个小岛,小岛B位于小岛A北偏东75距离60海里处,小岛B北偏东15距离(303-30)海里处有一个小岛C.(1)求小岛A到小岛C的距离;(2)如果有游客想直接从小岛A出发到小岛
3、C,求游船航行的方向.6.(2022北京信息题)在ABC中,B=3,AB=8,点D在BC边上,且CD=2,cosADC=17.求:(1)sinBAD;(2)BD,AC的长.7.(2022安徽高考冲刺)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2acos B=2c+b.(1)求A;(2)若a=4,b+c=32,求ABC的面积.8.(2022陕西西安四区县联考)已知锐角三角形ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若sin Asin Bsin C=32(sin2A+sin2B-sin2C).(1)求sin C;(2)若c=3,求ABC周长的取值范围.考点突破练3三角函数与解三角形1
4、.(1)证明 由已知及正弦定理,得2(sin Acos C+sin Ccos A)=sin A+sin C,即2sin(A+C)=sin A+sin C,2sin B=sin A+sin C,再由正弦定理,得2b=a+c,a,b,c成等差数列.(2)解 等差数列a,b,c的公差为a2,b=3a2,c=2a,cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-94a22a2a=1116.2.解 (1)函数f(x)=2sin xcos x+Acos 2x=sin 2x+Acos 2x=1+A2sin(2x+)tan =A,-2,2,对于条件:若f(0)=0,则A=0,对于条件:f(x)max=2,则
5、1+A2=2,解得A=1,不能同时成立,当A=0时,f8=221,即不满足条件,即不同时成立;当A=1时,f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin2x+4,f8=2,即满足条件;当A=-1时,f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin2x-4,f8=0,即不满足条件.综上可得,存在A=1满足条件.(2)由(1)得f(x)=2sin2x+4,当0xm时,42x+40,f2m+40,则2m+42,解得38m78,即m的取值范围是38,78.3.解 (1)由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=-3sin Atan(A+C),sin(B+C)=-3sin Atan(-B)
6、,sin A=3sin Atan B,0A,sin A0,tan B=33,0B,B=6.(2)S=12acsin B=932,a=33,由b2=a2+c2-2accos B,得b2=27+36-36332=9,b=3.4.解 (1)3bsin2+A=asin B,由正弦定理得3sin Bcos A=sin Asin B,sin B0,3cos A=sin A,tan A=3,A(0,),A=3.(2)b,a,c成等比数列,a2=bc,又cos A=b2+c2-a22bc=b2+c2-bc2bc=12,b2+c2-bc=bc,(b-c)2=0,b=c,又A=3,ABC为等边三角形.5.解 (1
7、)在ABC中,AB=60,BC=303-30,ABC=180-75+15=120,根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=602+(303-30)2-260(303-30)cos 120=5 400.AC=306,小岛A到小岛C的最短距离是306海里.(2)由正弦定理,得ACsinABC=ABsinACB,306sin120=60sinACB,解得sin ACB=22,在ABC中,BCAC,ACB为锐角,ACB=45,CAB=180-120-45=15,由75-15=60得游船应该沿北偏东60的方向航行.答:小岛A到小岛C的最短距离是306海里;游船应该沿北偏东60的方向
8、航行.6.解 (1)B=3,cosADC=17,sinADC=437,sinBAD=sin(ADC-B)=12sinADC-32cosADC=4314-314=3314.(2)在ABD中,由正弦定理得ABsinBDA=BDsinBAD,BD=ABsinBADsinBDA=ABsinBADsinADC=83314437=3.则BC=BD+DC=3+2=5,在ABC中,由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2ABBCcos B=64+25-40=49,AC=7.7.解 (1)由正弦定理及2acos B=2c+b,得2sin Acos B=2sin C+sin B,所以2sin Acos B=2si
9、n(A+B)+sin B,即2sin Acos B=2sin Acos B+2cos Asin B+sin B.所以2cos Asin B+sin B=0.因为sin B0,所以cos A=-12,又A(0,),所以A=23.(2)a=4,b+c=32,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2+bc=(b+c)2-bc,即16=18-bc,则bc=2.于是SABC=12bcsin A=12232=32,所以ABC的面积为32.8.解 (1)sin Asin Bsin C=32(sin2A+sin2B-sin2C),由正弦定理得absin C=32(a2+b2-c2)=3abcos C,tan C=3.C为锐角,C=3,sin C=32.(2)由2R=csinC=332=2,得R=1.ABC周长为a+b+c=2R(sin A+sin B+sin C)=2sin A+sin B+32,sin A+sin B=sin A+sin23-A=32sin A+32cos A=3sinA+6,由题意A0,2,23-A0,2,所以A6,2,A+63,23,sin A+sin B32,3,
