1、高一期中考试 数学试题 2021.4 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知是虚数单位，则复数所对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2.如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积 第2题图A B 1 C D 3
2、.若在中，则的形状一定是 A等腰直角三角形 B直角三角形 C等腰三角形 D等边三角形4若向量，且与共线，则实数的值为 A B C D5.已知复数是关于的方程的一个根，则实数的值分别为 A B C D6在中，、分别是角、的对边，若，则的面积为 A B C D7已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则圆柱的表面积为 A B C D8窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一. 每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新，接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正
3、六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 A 6，12 B8，12 C6，16 D8，16二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9.用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体可能是A圆锥B圆柱C三棱锥D正方体10.下列说法正确的有 A在中， B在中，若，则为等腰三角形C中，是的充要条件D在中，若，则 11有下列说法，其中错误的说法为 A若，则B若，则是三角形的垂心C两个非零向量，若，则与共线且反向D若，则存在
4、唯一实数使得12如图,在下列四个正方体中,为正方体的两个顶点,，为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线与平面平行的是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若复数，则 .14已知是圆上的三点，若，则与的夹角为 .15九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有 斛.（精确到个位）16已知平面向量，满足，且与
5、的夹角为，则的最大值为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）已知复数，如果，求实数的值18.（12分）在；这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题.问题：在中，内角的对边分别是，若已知， ，求的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图所示，斜三棱柱中，点为上的中点.（1）求证：平面（2）设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，求.20.（12分）已知向量（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当为何值时，与垂直？（3）当时，求的取值范围21.（12分）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点求证：（1）
6、直线平面； （2）平面平面；（3）若正方体棱长为，过三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积.第21题图22.（12分）如图，在中，点，是线段（含端点）上的动点，且点在点的右下方，在运动的过程中，始终保持不变，设.（1）写出的取值范围，并分别求线段,关于的函数关系式；第22题图（2）求面积的最小值.高一期中考试 数学试题 参考答案 2021.4说明:(1)此评分标准仅供参考;(2)学生解法若与此评分标准中的解法不同,请酌情给分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1-4：D，A，C，B 5-8：C，A，D，B二
7、、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。9ACD 10AC 11AD 12BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 14. 15.22 16.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.解:由得= 5分从而，解得 10分18.解：若选：因为，所以， 2分因为，所以所以， 4分即所以，因为，所以. 6分所以，所以， 9分所以，所以. 12分若选：因为，所以， 2分所以 4分因为，所以,所以，因为，所以， 6分所以，所以， 9分所以，所以.1
8、2分若选：因为，所以，所以， 因为，所以， 6分 所以，所以， 9分 所以，所以. 12分19.解：证明如下：连接交于点，连接.则在平行四边形中，点为上的中点.又点为上的中点，平面 6分 12分20解：（1）因为，则=；设与之间的夹角为则，因为，故 4分 （2）因为与垂直，所以，则得 8分（3）由因为，所以 所以 12分21.证明：（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，所以EGSB.又因为SB平面BDD1B1，EG平面BDD1B1，所以直线EG平面BDD1B1. 4分（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FGSD.又因为SD平面BDD1B1，FG平面BDD1B1，所以FG平面BDD1B1，M由（1）直线EG平面BDD1B1；又EG平面EFG，FG平面EFG，EGFG=G，所以平面EFG平面BDD1B1. 8分（3）取A1D1的中点M，连接AE，EC1，C1M，AM.则四边形AEC1M即为所求. 10分易知，四边形AEC1M为菱形，正方体棱长为1，所以EM，AC1，所以 12分22解：（1）. 2分 在中得 5分在中得 6分（2）的面积是 当且仅当时取等成立. 12分
