1、第一节平面向量的概念及线性运算本节主要包括2个知识点：1.平面向量的有关概念；2.平面向量的线性运算.突破点(一)平面向量的有关概念基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 名称定义备注向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量，平面向量可自由平移零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0考点贯通 抓高考命题的“形”与“神
2、” 平面向量的有关概念典例(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2b Dab且|a|b|(2)设a0为单位向量，下列命题中：若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.假命题的个数是()A0B1 C2D3解析(1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a2b时，故a2b是成立的充分条件(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一
3、是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案(1)C(2)D易错提醒(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1给出下列命题：若|a|b|，则ab；若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若ab，bc，则ac；ab的充要条件是|a|b|且ab.其中正确命题的序号是()ABCD解析：选A不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定
4、相同正确，|且.又A，B，C，D是不共线的四点，四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则且|，因此，.正确ab，a，b的长度相等且方向相同，又bc，b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac.不正确当ab且方向相反时，即使|a|b|，也不能得到ab，故|a|b|且ab不是ab的充要条件，而是必要不充分条件综上所述，正确命题的序号是.故选A.2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0(为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线其中错误的命题的个数为()A1B2C3D4解析：选C错误
5、，两向量共线要看其方向而不是起点或终点正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小错误，当a0时，不论为何值，a0.错误，当0时，ab0，此时，a与b可以是任意向量错误的命题有3个，故选C.3如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与相等的向量有_答案：，4如图，ABC和ABC是在各边的处相交的两个全等的等边三角形，设ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则(1)与向量相等的向量有_；(2)与向量共线，且模相等的向量有_；(3)与向量共线，且模相等的向量有_解析：向量相等向量方向相同且模相等向量共线表示有向线段所在的直线平行或重合答
6、案：(1) ，(2)，(3)， 突破点(二)平面向量的线性运算基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算 交换律：abba；结合律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算|a|a|，当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反；当0时，a0( a) ( )a；()aaa；(ab) ab2.平面向量共线定理向量b与a(a0)共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.考点贯通 抓高考命题的“形”与“神” 平面向量的线性运算例1(1)在ABC中，c，b.若点D满足2，则
7、()A.bcB.cbC.bc D.bc(2)在ABC中，N是AC边上一点且，P是BN上一点，若m，则实数m的值是_解析(1)由题可知bc，2，(bc)，则c(bc)bc，故选D.(2)如图，因为，所以，所以mm.因为B，P，N三点共线，所以m1，则m.答案(1)D(2)方法技巧1平面向量的线性运算技巧(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解2利用平面向量的线性运算求参数的一般思路(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置(2)利用平行四边形法则或
8、三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式(3)比较，观察可知所求平面向量共线定理的应用例2设两个非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)求证：A，B，D三点共线(2)试确定实数k，使kab和akb共线解(1)证明：因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)5(ab)5，所以，共线又与有公共点B，所以A，B，D三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使kab(akb)，即解得k1.即k1或1时，kab与akb共线方法技巧平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，与有公
9、共点A，则A，B，C三点共线(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值提醒证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点能力练通 抓应用体验的“得”与“失” 1.如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.ABC D解析：选C根据向量的加法法则，得ab，故正确；根据向量的减法法则，得ab，故错误；ab2bab，故正确；abbab，故错误故选C.2.已知a，b是不共线的向量，ab，ab，R，则A，B，C三点共线的充要条件为()A2 B1C1 D1解析：选DA，B，C三点共线，设m(m0)，则abm(ab)， 1，故选D.3.在平行四边形ABCD中，E，F分别是
10、BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为a，b，则()A.ab B.abCab Dab解析：选B如图，过点F作BC的平行线交DE于G，则G是DE的中点，且，则AHDFHG，从而，ba，ab，故选B.4.已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同若a，tb，(ab)三向量的终点在同一直线上，则t_.解析：a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同atb与a(ab)共线，即atb与ab共线，存在实数，使atb，解得，t，若a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上，则t.答案： 全国卷5年真题集中演练明规律 1.(2015新课标全国卷)设D为ABC所在平面内一点，
11、3，则()ABCD解析：选A()，故选A.2(2014新课标全国卷)设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则()A B. C D.解析：选A()()()，故选A.3(2015新课标全国卷)设向量a，b不平行，向量ab与a2b平行，则实数_.解析：ab与a2b平行，abt(a2b)，即abta2tb，解得答案：课时达标检测 重点保分课时一练小题夯双基，二练题点过高考练基础小题强化运算能力1(2017杭州模拟)在ABC中，已知M是BC中点，设a，b，则()A.ab B.abCab Dab解析：选Aba，故选A.2已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若20，则向量等于()A. B
12、C2 D2解析：选C因为，所以22()()20，所以2.3在四边形ABCD中，a2b，4ab，5a3b，则四边形ABCD的形状是()A矩形 B平行四边形C梯形 D以上都不对解析：选C由已知得，a2b4ab5a3b8a2b2(4ab)2，故.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形4已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但ab与c共线，且bc与a共线，则向量abc()Aa Bb Cc D0解析：选D依题意，设abmc，bcna，则有(ab)(bc)mcna，即acmcna.又a与c不共线，于是有m1，n1，abc，abc0.5已知ABC和点M满足0.若存在实数m使得m成立，则m_.解析：由0知，
13、点M为ABC的重心，设点D为底边BC的中点，则()()，所以3，故m3.答案：3练常考题点检验高考能力一、选择题1设M是ABC所在平面上的一点，且0，D是AC的中点，则的值为()A. B. C1 D2解析：选AD是AC的中点，如图，延长MD至E，使得DEMD，四边形MAEC为平行四边形，()，2.0，()3，3，故选A.2在ABC中，3，若12，则12的值为()A. B. C. D.解析：选B由题意得，()，1，2，12.3设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2， 2，2，则与 ()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选A由题意得，因此()，故与反向平
14、行4已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B45 C60 D90解析：选A由0，得，由O为ABC外接圆的圆心，可得|.设OC与AB交于点D，如图，由可知D为AB的中点，所以2，D为OC的中点又由|可知ODAB，即OCAB，所以四边形OACB为菱形，所以OAC为等边三角形，即CAO60，故A30.5已知点G是ABC的重心，过点G作一条直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且x，y，则的值为()A3 B. C2 D.解析：选B由已知得M，G，N三点共线，所以(1)x(1)y.点G是ABC的重心，()()，即得1，即3，通分得3，.6若点M是ABC所在平面内的一点，且
15、满足53，则ABM与ABC的面积的比值为()A. B. C. D.解析：选C设AB的中点为D，如图，连接MD，MC，由53，得523 ，即，即1，故C，M，D三点共线，又 ，联立，得53，即在ABM与ABC中，边AB上的高的比值为，所以ABM与ABC的面积的比值为.二、填空题7已知D，E，F分别为ABC的边BC，CA，AB的中点，且a，b，给出下列命题：ab；ab；ab；0.其中正确命题的个数为_解析：由a，b可得ab，ab，()(ab)ab，ababab0，所以错，正确所以正确命题的个数为3.答案：38若|2，则|_.解析：|2，ABC是边长为2的正三角形，|为ABC的边BC上的高的2倍，|
16、22sin2.答案：29若点O是ABC所在平面内的一点，且满足|2|，则ABC的形状为_解析：因为2，所以|，即0，故，ABC为直角三角形答案：直角三角形10在直角梯形ABCD中，A90，B30，AB2，BC2，点E在线段CD上，若，则的取值范围是_解析：由题意可求得AD1，CD，所以2.点E 在线段CD上， (01)，又2，1，即.01，0，即的取值范围是.答案：三、解答题11.如图，以向量a，b为邻边作OADB， ，用a，b表示， ，.解：ab，ab，bab.又ab，ab，ababab.综上，ab，ab，ab.12.如图所示，在ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)求证：B，E，F三点共线解：(1)延长AD到G，使，连接BG，CG，得到ABGC，如图，所以ab，(ab)，(ab)，b，(ab)a(b2a)，ba(b2a)(2)证明：由(1)可知，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线
