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圆锥曲线与方程考点分析.doc

上传人:高**** 文档编号:134862 上传时间:2024-05-25 格式:DOC 页数:6 大小:211.50KB
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资源描述

1、圆锥曲线与方程考点分析山东平邑曾子学校 阎洪叶【复习点拨】 圆锥曲线部分内容多、难度大、综合性强,为了提高学生的复习效率和复习质量,首先应抓住解析几何的特点即熟悉平面几何的性质,以坐标法为桥梁,用代数法来研究处理集合问题,复习时应重点突破以下内容:1 深刻理解并熟练掌握圆锥曲线的定义,能灵活运用定义解题;2 要熟练掌握各类圆锥曲线的标准方程、图象、几何性质,加强对基础知识的训练;3 要加强思想方法和能力的训练用类比的方法复习椭圆、双曲线、抛物线的定义和几何性质,要掌握反映解析几何问题的基本方法;4 要掌握求曲线方程的一般方法;直线与圆锥曲线的位置关系的判定;求弦长、对称等问题的解法;求有关参数

2、范围的常用方法。【题型预测】圆锥曲线是解析几何的核心内容,是高中数学的重点,也是历年高考命题的热点 。客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用;圆锥曲线的标准方程;圆锥曲线的基本量(a、b、c、e、p等)还有离心率等问题。解答题考查的热点是:求圆锥曲线的方程和轨迹方程;圆锥曲线的的几何性质;直线与圆锥曲线的位置关系;范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出现,但要解决它,还需要涉及到函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。【考点分析】考点一、圆锥曲线的标准方程求圆锥曲线的标准方程主要有两种方法,一是待定系数法,其步骤是:(1)定位,确定曲线的焦点在哪个坐标轴上;(2)设方程,根据

3、焦点的位置设出相应的曲线的方程;(3)定值,根据题目条件确定相关的系数。另一种方法是定义法,根据题目的条件,判断是否满足圆锥曲线的定义,若满足,求出相应的a、b、c、p即可求得方程。例1、已知双曲线的两个焦点为F1、F2,离心率为,且经过点(,-),求双曲线的标准方程分析:由离心率为,可知双曲线为等轴双曲线,但焦点在x轴还是y轴不确定,故可用x-y()来假设其标准方程,由点(,-)可求得方程解析:(1)因为双曲线的离心率为,所以双曲线为等轴双曲线,可设其方程为x-y(),由双曲线过点(,-),得42-(-)2=,即=6。所以双曲线的标准方程为。点评:本题主要考查双曲线的标准方程、性质。求双曲线

4、方程时,若焦点所在坐标轴不确定,则标准方程的形式也不能确定,通常要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论,也可设满足某条件的双曲线系的标准方程,用待定系数法求解,如等轴双曲线可设为x-y()。渐进线为的双曲线系可设为。例2、点M(x,y)在运动过程中,总满足关系式,点M的轨迹是什么曲线?写出它的方程。思路分析:如果将关系式整理,通过化简后的方程来指出曲线形状,则会比较复杂。这里观察式子的特点发现两个根号实际上是两点间的距离公式,根据几何意义,可以用定义求解。解:即为设F1(0,1),F2(0,-1),则|MF1|+MF2|=4,即动点M到两定点F1,F2的距离之和为定植2a=4,且2a|F1F2|

5、=2,所以点M的轨迹是椭圆,且椭圆的焦点为F1(0,1),F2(0,-1)。所以2c=2,c=12a=4,a=2所以点M的轨迹方程为点评:(1)将代数式转化为几何意义,结合椭圆的定义解题,是本题快速突破的关键;(2)本题还可以将所给的代数式整理,由化简后的方程指出轨迹。考点二、圆锥曲线的离心率求离心率e的值,要寻找a、b、c之间的另一等量关系;求e的取值范围,则要寻求a、b、c之间的不等式关系,再由不等式求解,有时还要适当利用放缩法,体现了方程和不等式的数学思想。例3、(2004年全国)双曲线(a1,b0)的焦距为2c,直线过点(a,0)和(0,b),且点(1,0)到直线的距离与点(-1,0)

6、的到直线的距离之和s,求双曲线的离心率e的取值范围。分析:首先求出s,将不等式s转化为a、b、c的关系,将b用a、c表示,再由e=即可化为e的关系式,进而求出e的范围。解析:直线的方程为,即bx+ay-ab=0,由点到直线的距离公式,且a1,得到点1,0)到直线的距离d1=,同理得到点(-1,0)的到直线的距离d2=,s=d1+d2=,由s,得,即5a2c2.于是得5a2e2,即4e4-25e2+250,解不等式得,由于e10,所以e的取值范围是点评:求双曲线的离心率或离心率的取值范围的常用方法有两种:一种是直接建立e的关系式求e或e的范围;另一种是建立a、b、c的齐次关系式,将b用a、c表示

7、,令两边同除以a或a2化为e的关系式,进而求解,有时也可借助于圆锥曲线的统一定义求界考点三、圆锥曲线的最值问题 最值问题常见的解法有两种:代数法和几何法,若题目的条件和结论能明显体现集合特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法;若题目的条件和结论难体现一种明确的函数关系,则可首先建立起目标函数,再求这个函数的最值。求函数最值常用的方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法,这种方法是代数法。这类问题往往是代数、几何多方面知识的渗透,函数与方程、转化与化归、分类讨论等多种思想的交叉运用,考查学生观察、分析、综合、创新等多方面的综合思维能力。xyAFPOx-1例4、设P是抛物线

8、y2=4x上的一动点,求点P到点A(-1,1)的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值。分析:抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,由此对所求距离实转化。解析:如图,易知抛物线的焦点为F(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义知:点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离,于是,问题转化为:在曲线上求一点P,使点P到点A(-1,1)的距离与点P到焦点F的距离之和最小。显然,连结AF交曲线于P点,故最小值为,即。点评:与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关。由于抛物线的定义在应用上有较大的灵活性,因此此类问题也有一定的难度。本题主要考查利用定义把抛物线上的点到准线的

9、距离转化为到焦点的距离,从而构造出“两点间线段最短”,使问题获解。考点四、直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线的位置关系有3种,相交、相切、相离,即判断直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究他们的方程组成的方程组是否有解问题。通过消元最终转化为讨论一个一元二次方程实数解的个数问题,涉及弦长的问题中,应熟练地利用根与系数的关系设而不求计算弦长(即运用弦长公式),涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系,设而不求简化运算。有关弦的中点的问题,常用“点差法”“设而不求”整体来求,但在求直线方程中,一定要代入原方程进行检验。例5、(2006全国)已知抛物线x2=4y的焦点为F,A

10、、B是抛物线上的两动点。且(0),过A、B两点分别作抛物线的切线,设其交点为M。(1)证明:为定值;(2)设ABM的面积为S,写出S=f()的表达式,并求S的最小值。分析:(1)设出A、B的坐标,将交点M的坐标用A、B的坐标表示,求出数量积。(2)将面积表示成的函数,然后根据不等式求最值。解析:(1)由已知条件,得F(0,1),0,设A(x1,y1),B(x2,y2),由,即得(-x1,1-y1)=(x2,y2-1),所以又因为x12=4y1,x22=4y2,所以y1=,y2=,x1x2=-x22=-4y2=-4抛物线方程为y=x2,求导得y=x,所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是y=x

11、1(x-x1)+y1,y=x2(x-x2)+y2,即y=x1x-x12,y=x2x-x22.解出两条切线的 交点M的坐标为(,)=(,-1)所以=(,-2)(x2-x1,y2-y1)=(x22-x12)-2(x22-x12)=0,所以为定值,其值为0。(2)由(1)知在ABM中,FMAB,因而S=|AB|FM|FM|=因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y=-1的距离,所以|AB|=|AF|+|BF|=y1+y2+2=+2=()2于是S=|AB|FM|=()2,由2知S4,且当=1时,S取得最小值4。点评:纵观近年高考解析几何试题,与向量联系或借助向量进行求解的比比皆是,向量的坐标表示与解析几何中点的坐标恰到好处的融为一体,使解析几何与向量有机的结合在一起,不仅增加了难度还增加了灵活性。有些很难运算下去的式子,借助向量很快就可以得出结论。向量与其他知识的交汇内容是高考的重点考查内容。本题融向量的线性运算、数量积运算、导数的几何意义、基本不等式求最值、抛物线的几何性质于一体,考查了运用所学知识与方法分析、解决问题的能力。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

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