1、学案7 双 曲 线考点1考点2填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点3返回目录考 纲 解 读 双曲线1.掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程.2.掌握双曲线的几何性质.3.了解双曲线的一些实际应用.考 向 预 测 返回目录从近两年的高考试题来看,双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点,题型大多为选择题、填空题,难度为中等偏高,主要考查双曲线的定义及几何性质,考查基本运算能力及等价转化思想.预测2012年高考仍将以双曲线的定义及几何性质为主要考查点,重点考查运算能力、逻辑推理能力.返回目录 1.双曲线的定义 平面内与两个定点F1,
2、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的.两个定点焦距2.双曲线的标准方程和几何性质 返回目录标准方程图形2222xy-=1(a0,b0)ab2222yx-=1(a0,b0)ab返回目录性质 范围 xa或x-a ya或y-a 对称性 对称轴:对称中心:对称轴:对称中心:顶点 顶点坐标A1 ,A2 顶点坐标A1 ,A2 渐近线 y=y=离心率 e=e ,其中c=.实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=;线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长|B1B2|=;a叫做双曲线的 长,b叫做双曲线的虚半
3、轴长.a,b,c的关系 c=(ca0,cb0)b xaaxbcax轴,y轴x轴,y轴原点原点(-a,0)(a,0)(0,-a)(0,a )(1,+)22a+b2a 2b 实半轴22a+b返回目录已知动圆M与圆C1:(x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,求动圆圆心M的轨迹方程.【分析】利用两圆内、外切的充要条件找出M点满足的几何条件,结合双曲线定义求解.考点1 双曲线的定义及标准方程返回目录【解析】如图,设动圆M的半径为r,则由已知|MC1|=r+,|MC2|=r-,|MC1|-|MC2|=2 .又C1(-4,0),C2(4,0),|C1C2|=8,2|C1C2|.根
4、据双曲线定义知,点M的轨迹是以C1(-4,0),C2(4,0)为焦点的双曲线的右支.a=,c=4,b2=c2-a2=14.点M的轨迹方程是(x ).22222222xy-=1214返回目录求曲线的轨迹方程时,应尽量地利用几 何条件探求轨迹的曲线类型,从而再用待定系数法求出轨迹的方程,这样可以减少运算量,提高解题速度与质量.在运用双曲线的定义时,应特别注意定义中的条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线还是双曲线的一支,若是一支,是哪一支,以确保轨迹的纯粹性和完备性.在ABC中,B(4 ,0),C(-4 ,0)且满足条件sinB-sinC=sinA,则动点A的轨迹方程.12返回目录返回目录【
5、解析】设A的坐标为(x,y),在ABC中,由正弦定理得(其中R为ABC外接圆的半径),代入sinB-sinC=sinA得,又|BC|=8,则得|AC|-|AB|=4,因此A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点),且2a=4,2c=8,即a=2,c=4.b2=c2-a2=12.所以所求A点的轨迹方程为(x2).2RsinCcsinBbsinAa212R|BC|212R|AB|-2R|AC|112y4x22返回目录考点2 双曲线性质及应用2010年高考北京卷已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.1by-ax222219y25x22返回目录【
6、分析】根据双曲线有关几何性质求解.【解析】双曲线的焦点与椭圆的焦点相同,c=4.e=2,a=2,b2=12,b=.焦点在x轴上,焦点坐标为(4,0),渐近线方程为y=x,即y=x,化为一般式为xy=0.ac32ab33返回目录双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”(两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点),“四线”(两条对称轴、两条渐近线),“两形”(中心、焦点以及虚轴端点构成的三角形、双曲线上一点和两焦点构成的三角形)研究它们之间的相互联系.返回目录2010年高考天津卷已知双曲线(a0,b0)的一条渐近线方程是y=x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为()A.B.
7、C.D.1by-ax222231108y-36x22127y-9x22136y-108x2219y-27x22返回目录【答案】B【解析】抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,故双曲线中c=6.由双曲线的一条渐近线方程为y=x,知,且c2=a2+b2.由解得a2=9,b2=27.故双曲线的方程为.故应选B.2222xy-=1ab3ab 127y9x223返回目录考点3 双曲线的综合应用已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F(,0),一条渐近线m:x+y=0,设过点A(-3 ,0)的直线l的方向向量e=(1,k).(1)求双曲线C的方程;(2)若过原点的直线a l,且a与l的距离为,求k的值;(3
8、)证明:当k 时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.3226226返回目录【分析】(1)由渐近线为x+y=0可设双曲线方程为x2-2y2=(0),则a2=,b2=,c=.可求.(2)由al求k.(3)可利用反证法证明或利用直接法.223【解析】(1)设双曲线C的方程为x2-2y2=(0),+=3,解得=2.双曲线C的方程为-y2=1.22x2返回目录(2)直线l:kx-y+3 k=0,直线a:kx-y=0.由题意,得,解得k=.(3)设过原点且平行于l的直线b:kx-y=0,则直线l与b的距离d=,当k时,d.又双曲线C的渐近线为xy=0,双曲线C的右支在直线b的右下方,6k
9、1k232 222k1k232262返回目录双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于.故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.1-2k20,-4kt0,-2(t2+1)0.方程不存在正根,即假设不成立.故在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为.666返回目录正确设出双曲线方程是解决本题的基础,合理的推理、准确的计算以及充分地用好双曲线性质是做好本题的关键.返回目录双曲线C:(a0,b0)的右顶点A,x轴上有一点Q(2a,0),若C上存在一点P,使AP,PQ=0,求此双曲线离心率的取值范围.设P点坐标为(x,y),则由APPQ=0,得APPQ,则P点在以AQ为直径的圆上,即.又P点在双曲线上,得.由消去y,得2222xy-=1ab2223a(x-a)+y=()222222xy-=1ab(a2+b2)x2-3a2x+2a4-a2b2=0.即(a2+b2)x-(2a3-ab2)(x-a)=0.当x=a时,P与A重合,不符合题意,舍去.当x=时,满足题意的P点存在,需x=a,化简得a22b2,即3a22c2,.离心率e=(1,).返回目录32222a-aba+b32222a-aba+b0,则焦点在x轴上,若求得0,则焦点在y轴上.2222byax byax