1、学案5 数列的应用考点1考点2考点3考点4填填知学情课内考点突破规 律 探 究考 纲 解 读考 向 预 测考点5返回目录考 纲 解 读 数列的应用 1.运用等差数列、等比数列的有关知识，解决两种数列互相交叉、互相渗透的一些综合问题.2.理解一般数列的求和方法.3.初步掌握数列的递推公式，运用这些知识解决一些综合问题.4.通过解决数列型应用题，提高分析问题和解决问题的能力，学会如何建立数学模型，解决实际问题.返回目录考 向 预 测 从近几年的高考试题看，数列的综合应用成为命题的热点，在选择题、填空题、解答题中都有可能出现.主要是等差、等比数列综合题，或可转化为等差、等比数列的综合问题，或者与数列
2、有关的应用题.数列与函数、方程、不等式等的学科内综合题近几年几乎没有考查，也就是说，数列的考查在总体难度上降了下来，这也是复习中注意的方面.返回目录1.数列的综合应用数列的综合应用一是指综合运用数列的各种知识和方法求解问题，二是数列与其他数学内容相联系的综合问题.解决此类问题应注意数学思想及方法的运用与体会.（1）数列是一种特殊的，解数列题要注意运用方程与函数的思想与方法.（2）转化与化归思想是解数列有关问题的基本思想方法，复杂的数列问题经常转化为、数列或常见的特殊数列问题.函数等差等比返回目录（3）由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.已知数列的前若干项求通项，由有限的特
3、殊事例推测出一般性的结论，都是利用此法实现的.（4）分类讨论思想在数列问题中常会遇到，如等比数列中，经常要对进行讨论；由Sn求an时，要对进行分类讨论.2.数列的实际应用数列的应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容，解答应用问题的核心是建立数学模型.n=1或n2公比返回目录（1）建立数学模型时，应明确是模型、模型，还是模型，是求an还是求Sn.（2）数列综合应用题的解题步骤审题弄清题意,分析涉及哪些数学内容,在每个数学内容中,各是什么问题.分解把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个小“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等.求解分别求解这些小题或这些小“
4、步骤”，从而得到整个问题的解答.递推数列等差数列等比数列具体解题步骤如下框图:返回目录返回目录 3、数列应用题常见模型(1)银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y=.(2)银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x,则本利和y=.(3)产值模型原来产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间x的总产值y=.(4)分期付款模型a为贷款总额,r为年利率,b为等额还款数,则.1-r)(1ar)r(1bnn+=a(1+xr)a(1+r)xN(1+p)x返回目录2010年高考重庆卷已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为a
5、n的前n项和.（1）求通项an及Sn;（2）设bn-an是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及前n项和Tn.考点1 等差、等比数列的综合应用【解析】（1）an是首项为a1=19,公差为d=-2的等差数列，an=19-2(n-1)=21-2n,Sn=19n+n(n-1)(-2)=20n-n2.（2）由题意得bn-an=3n-1，即bn=an+3n-1,bn=3n-1-2n+21,Tn=Sn+(1+3+3n-1)=-n2+20n+.返回目录【分析】在an中，因为a1,d已知，则an可求，Sn可求，而数列bn-an中，首项、公比已知，则通项可求，所以bn可求.21213n 返回目录（
6、1）等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式，前n项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点.（2）利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值.同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可使问题易于解决；有些问题还需利用条件联立方程求解.已知正项数列an的前n项和为Sn，且是与(an+1)2的等比中项.（1）求证：数列an是等差数列；（2）若bn=，数列bn的前n项和为Tn，求Tn.返回目录nn2anS41【解析】（1）证明：由题知Sn=(an+1)2,当n=1时，a1=(a1+1)2,a1=1,当n2时，an=Sn-Sn-1=(
7、an+1)2-(an-1+1)2,(an+an-1)(an-an-1-2)=0.an0,an-an-1-2=0.即当n2时，an-an-1=2.数列an是等差数列.返回目录41414141返回目录（2）由（1）知数列an是以1为首项，以2为公差的等差数列.an=1+(n-1)2=2n-1.bn=，则Tn=+,Tn=+,由-得21nn2a又n21-2n2233251n23-2nn21-2n21221323425n23-2n1n21-2n返回目录41nn1n1n1n21nn32n23n23T21n22112121n22112114122121n2212121221T21返回目录2010年高考上海卷
8、已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=n-5an-85,nN*.（1）证明：an-1是等比数列；（2）求数列Sn的通项公式，并求出n为何值时，Sn取得最小值？并说明理由.【分析】由于Sn=n-5an-85,故可由公式法求通项公式的思路消去Sn，建立an与an-1的关系.考点2 数列中的最值问题【解析】(1)证明:Sn=n-5an-85,当n=1时,S1=1-5a1-85,即a1=1-5a1-85,解得a1=-14;当n2时,an=Sn-Sn-1=(n-5an-85)-(n-1)-5an-1-85=-5an+5an-1+1,整理得6an=5an-1+1,6(an-1)=5(an-1-1),.又a
9、1-1=-15,数列an-1是以-15为首项,为公比的等比数列.返回目录651a1a-1nn65返回目录(2)由(1)知,an-1=-15,an=-15+1,代入Sn=n-5an-85,得Sn=n-5(-15)+1-85=n+75-90.Sk-1SkSk+1Sk,ak0ak+10，-15+10-15+10,1511n651n651n651n65设Sk为最小值，则即1k65k65 1k65k65 151即返回目录即又lg20.301 0,lg30.477 1,14.9.14.9k15.9.又kN*，k=15.即当n=15时，Sn取得最小值.151logk151log1k65651151logk1
10、51log65653lg2lg21)12lg3(lg65lg151lg151log65151log65返回目录在数列中，若Sn与an关系已知，求通项用公式法，这是最基本的思路；数列是特殊的函数，因此可以用函数的思想解决数列问题，同时注意数列本身的特点，如本题中最小值的求法.返回目录2010年高考江苏卷设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,数列是公差为d的等差数列.(1)求数列an的通项公式(用n,d表示);(2)设c为实数,对满足m+n=3k且mn的任意正整数m,n,k,不等式Sm+SncSk都成立,求证:c的最大值为.nS29【解析】(1)是等差数列,.又2a2=
11、a1+a3,平方得3a1+a2=2 ,即=0,a2=3a1,d=,即=d,Sn=n2d2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2,且对n=1成立,an=(2n-1)d2.返回目录nS2121a3aaa2312SSS221aa3212a3a 11112aaa2SS1Sndd)1n(SS1n返回目录(2)证明:由Sm+SncSk得m2+n2ck2,即c ,m+n=3k,=.2mnm2+n2(mn),c ,c的最大值为.222knm 222knm 2mnnm)n9(mn)(m)n9(m2222222222knm 29n)(m)n9(m2222929返回目录考点3
12、 新定义下的数列问题2010年高考湖南卷给出下面的数表序列：表1 表2 表3 1 1 3 1 3 54 4 8 12其中表n(n=1,2,3,)有n行，第1行的n个数是1，3，5，2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和.返回目录(1)写出表4,验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列,并将结论推广到表n(n3)(不要求证明)；(2)每个数表中最后一行都只有一个数,它们构成数列1,4,12,记此数列为bn.求和:(nN*).bbbbbbbbb1nn2n324213【分析】由表1表3行间关系，易得表4；由题意归纳数列bn，并求所给的和.返回目录【解析】(1)表4为
13、1 3 5 74 8 1212 2032它的第1，2，3，4行中的数的平均数分别是4，8，16，32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列.将这一结论推广到表n(n3)，即表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n,公比为2的等比数列.简证如下:(对考生不作要求)首先,表n(n3)的第1行1，3，5，,2n-1是等差数列，其平均数为;其次，若表n的第k(1kn-1)行a1,a2,an-k+1是等差数列，则它的第k+1行a1+a2,a2+a3,an-k+an-k+1也是等差数列.由等差数列的性质知,表n的第k行中的数的平均数与第k+1行中的数的平均数分别是由此可知，表n(n3)各
14、行中的数都成等差数列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列.nn1)-(2n31.aa2aaaa,2aa1k-n11k-nk-n211k-n1返回目录（2）表n的第1行是1，3，5，2n-1，其平均数是(nN*).由（1）知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列（从而它的第k行中的数的平均数是n2k-1)，于是，表n中最后一行的唯一一个数为bn=n2n-1(nN*).因此nn1)-(2n531n),1,2,3,.(k21)(k1-2k121)k(k2k21)(k2k2)2(kbbb2-k3-k2-kk-1k1k1kk2k2-k2
15、1)k(kk-1)2(k返回目录故1nn2n324213bbbbbbbbb2n2n2-2n3n01-12-2)1n(142)1n(12112)1n(12n1)231221()211211(nN*).返回目录返回目录本题以数表序列为载体，考查等差、等比数列的定义、性质、通项公式、数列的求和（裂项求和）等基础知识.通过第（1）问的类比推理，很好地考查了推理论证能力.通过第(2)问对新数列的分析和归纳,综合考查了学生的归纳推理能力、运算求解能力，考查学生是否具有审慎的思维习惯和一定的数学素养.返回目录2010年高考浙江卷在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，第1列第2列第3列第1行1 2
16、3 第2行2 4 6 第3行3 6 9 那么位于表中的第n行第n+1列的数是.返回目录【答案】n2+n【解析】由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n,组成一等差数列，所以第n行第n+1列的数是n2+n.返回目录考点4 数列在实际问题中的应用假设某市2010年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,(1)该市历年所建中低价房的累计面（以2010年为累计的第一年）将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年
17、建造住房面积的比例首次不大于85%（参考数据：1.0841.47，1.0881.59）返回目录【分析】（1）要求学生会把实际问题转化为数学问题：Sn=250n+50=25n2+225 4 750.(2)a10.85bn,bn=4001.08n-1.21)-n(n【解析】（1）设中低价房的面积形成的数列为an，由题意可知an是等差数列，其中a1=250，d=50，则an=250+（n-1）50=50n+200，Sn=250n+50=25n2+225n,令25n2+225n4 750,即n2+9n-1900,而n是正整数，n10.21)-n(n返回目录到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积
18、将首次不少于4 750万平方米.（2）设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数列，其中b1=400，q=1.08,则bn=400（1.08）n-1.由题意可知an0.85bn,即50n+200400（1.08）n-10.85.当n=5时，a50.85b5,当n=6时，a60.85b6,满足上述不等式的最小正整数n为6.到2013年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.返回目录解决此类问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，通过反复读题，列出有关信息，转化为数列的有关问题，这也是数学实际应用的具体体现.返回目录某地区原有木材存量为a，且每年增长率为25%
19、,因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量.（1）求an的表达式；（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于a,如果b=a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年(取lg2=0.30)?977219返回目录【解析】（1）解法一：设第一年的森林木材存量为a1,第n年后的森林木材存量为an,则a1=a（1+）-b=a-b,a2=a1-b=a-（+1）b,a3=a2-b=a-+1b,41454545453)45(2)45(2)45(451b)45()45a()45(a2-n-1nnn1b)454(-a)45(nn(nN*).返回
20、目录解法二：设第n年木材存量为an，则第n-1年存量为an-1(n2)，故an=an-1(1+)-b，即an=an-1-b(n2),所以an-4b=(an-1-4b)(n2),所以an-4b组成以a1-4b为首项,为公比的等比数列.所以an-4b=(a1-4b)()n-1,即an=4b+(a-5b)()n-1=()na-4 n-1 b(nN*).4145454545454545)45(返回目录（2）当b=a时，若an a,则()na-4()n-1 a5,所以n 7.2.答：经过8年后该地区就开始水土流失.7219974545721997n)45(3lg2-1lg2-12lg2-lg5lg5考点
21、5 数列的综合应用返回目录已知数列an的首项a1=1,且点An(an,an+1)在函数y=的图象上.(1)求数列an的通项公式;(2)求证:弦AnAn+1的斜率随n的增大而增大;(3)若数列bn满足anbn=2n,求数列bn的前n项和Sn的值.1xx返回目录【分析】(1)将点An(an,an+1)代入函数y=即可得出数列 的性质,从而求得an;(2),可用作差比较法证明;(3)用错位相减法求和.1xxna11nnAAkn1n1n2na-aa-a【解析】(1)an+1=且a1=1,=1+,=1，是以1为首项，1为公差的等差数列，=1+(n-1)1=n,an=.1nnaa1na1na11na1na
22、1na1na1n1返回目录(2)证明：an=,an+1=,an+2=,弦AnAn+1的斜率kn=kn+1-kn=2(n+2)(n+3)0.弦AnAn+1的斜率随n的增大而增大.n11n12n1n1n1n2na-aa-a,2nnn1-1n11n1-2n12nn-3n1n2)3)(n(n3)n(n-2)1)(n(n返回目录（3）由anbn=2nbn=2n=n2n,Sn=121+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-得-Sn=121+22+23+2n-n2n+1,Sn=n2n+1-2n+1+2=(n-1)2n+1+2.n1返回目录数列与其他知识的综合问题主要指
23、的是用几何方法或函数的解析式构造数列，用函数或方程的方法研究数列问题.函数与数列的综合问题主要有以下两类：一是已知函数的条件，利用函数的性质图象研究数列问题，如恒成立、最值问题等.二是已知数列条件，利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式子化简变形，从而解决函数问题.返回目录已知f（x）=logax(a0，且a1),设f（a1），f（a2），f（an）（nN*）是首项为4，公差为2的等差数列.（1）若a为常数，求证：an成等比数列；（2）设bn=anf(an),若bn的前n项和是Sn，当a=时，求Sn.2返回目录【解析】（1）f（an）=4+（n-1）2=2n+2,即logaan=2n+2,可
24、得an=a2n+2.，为定值.an为等比数列.（2）bn=anf（an）=a2n+2logaa2n+2=(2n+2)a2n+2.当a=2时，bn=（2n+2）（）2n+2=（n+1）2n+2.Sn=223+324+425+（n+1）2n+2，2Sn=224+325+426+n2n+2+（n+1）2n+3.22n22n2-1)2(n22n-1nnaaaaaaa2返回目录名师伴你行-得-Sn=223+24+25+2n+2-(n+1)2n+3=16+-（n+1）2n+3=16+2n+3-24-n2n+3-2n+3=-n2n+3.Sn=n2n+3.2-1)2-(12-1n4返回目录1.解决数列综合问题
25、应注意以下几点（1）对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，有些数列题目条件已指明是等差（或等比）数列，但有的数列并没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决相应问题.返回目录（2）在解决数列知识与其他数学知识综合的问题中，应注意思维角度与解题途径的选择，提高数学变形转换、推理等综合能力.从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化、联系制约的观点解决数列综合问题.其解题策略可借助于常见函数的性质，也可借助于研究函数性质的常用方法.（3）数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质.等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它是研究数列性质的基础，它与函数、方程、不等式、三角、复数等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用.返回目录2.数列实际应用问题（1）数学应用问题已成为中学数学教学与研究的一个重要内容，解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.（2）在试题中常用的数学模型有构造等差、等比数列的模型，然后再去应用数列的通项公式和公式求解；用无穷递缩等比数列的求和公式求解；通过归纳得到结论，用数列知识求解.
