1、第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.log1216=()A.4B.-4C.14D.-14解析:log1216=-log216=-4.答案:B2.设a0,将3a2a4a3表示成分数指数幂的形式,其结果是()A.a112B.a114C.a124D.a118解析:3a2a4a3=a23a12a34=a23a5412=a23-58=a124.答案:C3.函数f(x)=x-4lgx-1的定义域是()A.4,+)B.(10,+)C.(4,10)(10,+)D.4,10)(10,+)解析:由x
2、-40,lgx-10,x0,解得x4,x10,x0,所以x4,且x10,故函数f(x)的定义域为4,10)(10,+).答案:D4.函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是()A.(1,2)B.(0,1)C.(2,e)D.(3,4)解析:因为f(1)=ln2-2=ln2e2ln1=0,所以函数f(x)=ln(x+1)-2x的零点所在的大致区间是(1,2).答案:A5.用二分法判断方程2x3+3x-3=0在区间(0,1)内的解(精确度为0.25)可以是(参考数据:0.753=0.421 875,0.6253=0.244 14)()A.0.25B.0.375C.0.635D.0.8
3、25解析:令f(x)=2x3+3x-3,因为f(0)0,f(0.5)0,f(0.625)0,所以方程2x3+3x-3=0的根在区间(0.625,0.75)内.因为0.75-0.625=0.1251时,y=logat在定义域上为增函数,t=(a-1)x+1在定义域上为增函数,所以f(x)=loga(a-1)x+1在定义域上为增函数;当0abcB.bacC.acbD.cab解析:因为c=15log30.3,所以c=5log3103.所以只需比较log23.4,log43.6,log3103的大小.又0log43.6log33.4log31031,所以acb.答案:C9.已知函数f(x)=13x-l
4、og2x,若实数x0是函数f(x)的零点,且0x10.而0x10.答案:A10.一高为H、满缸水量为V的鱼缸截面如图所示,其底部破了一个小洞,满缸水从洞中流出.若鱼缸水深为h时的水的体积为v,则函数v=f(h)的大致图象可能是图中的()解析:由鱼缸的形状可知,水的体积v随着h的减小,先减少得慢,后减少得快,又减少得慢.答案:B11.已知关于x的方程|3x+1-2|=m有两个实数解,则实数m的取值范围是()A.(0,+)B.0,2C.(0,2)D.(2,+)解析:画出函数f(x)=|3x+1-2|的图象(图略),由图象可知,要使直线y=m与f(x)的图象有两个不同的交点,需满足0mf(2),则实
5、数m的取值范围为()A.(4,+)B.0,14C.-,14(4,+)D.0,14(4,+)解析:易知函数f(x)为偶函数,且在区间(0,+)内单调递增.又因为f(log2m)f(2),所以f(|log2m|)f(2).所以|log2m|2.所以log2m2或log2m-2,解得0m4.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.化简:-4870+214-1213-2-(0.04)0.5=.解析:原式=1+49129-12512=1+239-15=7-15=645.答案:64514.已知函数f(x)=loga(x+3)-89(a0,a1)的图象恒过定点
6、A.若点A也在函数g(x)=3x+b的图象上,则g(log32)=.解析:因为f(-2)=-89,所以定点A的坐标为-2,-89.又因为点A在g(x)的图象上,所以3-2+b=-89,解得b=-1.所以g(x)=3x-1.所以g(log32)=3log32-1=2-1=1.答案:115.若函数f(x)=(log14x)2+log4x+m在区间2,4上的最大值为7,则实数m=.解析:令log4x=t,因为x2,4,所以t12,1.所以函数可化为y=t2+t+m,其在t12,1上单调递增,所以12+1+m=7,解得m=5.答案:516.已知函数f(x)=a|log2x|+1(a0),定义函数F(x
7、)=f(x),x0,f(-x),x0.给出下列四个命题:F(x)=|f(x)|;函数F(x)是偶函数;当a0时,若0mn1,则有F(m)-F(n)0时,函数y=F(x)-2有4个零点.其中真命题的序号是.解析:易知F(x)=f(|x|),故F(x)=|f(x)|不正确;因为F(x)=f(|x|),所以F(-x)=F(x),因此函数F(x)是偶函数;当a0时,若0mn1,则F(m)-F(n)=-alog2m+1-(-alog2n+1)=a(log2n-log2m)0时,F(x)=2可化为f(|x|)=2,即a|log2|x|+1=2,即|log2|x|=1a.故|x|=21a或|x|=2-1a.
8、故函数y=F(x)-2有4个零点,故正确.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求值:(1)(0.25)12-23702(-2)343+(2-1)-1-212;(2)lg 12-lg 58+lg 12.5-log89log278.解:(1)原式=12-416+2+1-2=-1252;(2)原式=-lg2-lg5+lg8+lg25-lg2-lg9lg8lg8lg27=-1+3lg2+2lg5-lg2-2lg33lg3=-1+2(lg2+lg5)-23=13.18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=23|x|-a.(1)求
9、f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最大值等于94,求实数a的值.解:(1)f(x)=23|x|-a=23x-a,x0,23-x-a,x0,即x0,即9-4m0时,m94.设f(x)=0的两根为x1,x2,且x1x2,若0m0,x1x2=1m0,即x10,x20,符合题意;若m0,则x1+x2=3m0,x1x2=1m0,即x10,符合题意.综上可知m的取值范围为-,94.21.(本小题满分12分)芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物,不仅可美化居室、净化空气,又可美容保健,因此深受人们欢迎,在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟市场,栽培芦荟,为了了解行情,进行市场调研,从4月1日起,芦荟
10、的种植成本Q(单位:元/10 kg)与上市时间t(单位:天)的数据情况如下表:t50110250Q150108150(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系:Q=at+b,Q=at2+bt+c,Q=abt,Q=alogbt;(2)利用你选择的函数,求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植成本.解:(1)由所提供的数据可知,芦荟种植成本Q随着上市时间t的增加先减少再增加.若用函数Q=at+b,Q=abt,Q=alogbt中的任意一个来反映时都应有a0,且上述三个函数均为单调函数,这与表格所提供的数据不符合,所以应选用二次函数Q=at2+bt+c进行描述
11、.将表格所提供的三组数据分别代入函数Q=at2+bt+c,可得150=2500a+50b+c,108=12100a+110b+c,150=62500a+250b+c.解得a=1200,b=-32,c=4252.所以,刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q=1200t2-32t+4252.(2)当t=-3221200=150(天)时,芦荟种植成本最低为Q=12001502-32150+4252=100(元/10kg).22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx(kR)是偶函数.(1)求实数k的值;(2)设g(x)=log4a2x-43a,若函数f(x)的图
12、象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,求实数a的取值范围.解:(1)因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x)恒成立,即log4(4-x+1)-kx=log4(4x+1)+kx.因此log4(4x+1)-x-kx=log4(4x+1)+kx.所以(2k+1)x=0.所以2k+1=0,解得k=-12.(2)由(1)知f(x)=log4(4x+1)-12x.因为函数f(x)的图象与g(x)的图象有且仅有一个公共点,所以方程f(x)=g(x)有且仅有一解.所以log4(4x+1)-12x=log4a2x-43a,即log4(4x+1)-log4412x=log4a2x-43a.所以log44x+12x=log4a2x-43a.所以4x+12x=a2x-43a,a2x-43a0.设2x=t(t0),则4x+12x=a2x-43a可化为(a-1)t2-43at-1=0,即式只有一个正根.若a-10,则方程式的=169a2+4a-40,且两根之积为11-a0,故方程必有一个正根,符合题意;若a-1=0,则方程式化为-43t-1=0,解得t=-34,不符合题意;若a-11.5
