1、2.3.2双曲线的简单几何性质三维目标1.知识与技能(1)使学生理解和掌握双曲线的范围、对称性、顶点等性质(2)理解渐近线的证明方法(3)理解离心率和双曲线形状间的变化关系2过程与方法培养学生的观察能力、想象能力、数形结合能力和逻辑推理能力，以及类比的学习方法3情感、态度与价值观培养学生对待知识的科学态度和探索精神，而且能够运用运动的、变化的观点分析理解事物重点、难点重点：由方程导出性质及其应用难点：渐近线的理解从学生的认知水平来看，对渐近线分析方法的理解和掌握有一定的困难同时渐进线概念如何顺应学生思维的自然呈现，是教法中的一个困惑因此，将渐近线的呈现与分析设置为本课时的难点为突破该难点，从“
2、如何画双曲线草图”入手，分析作草图必须的条件，以“双曲线的走向”为切入口，通过复习反比例函数图象，以旧引新，使双曲线的概念自然呈现并通过学生讨论与交流，充分暴露思维过程，完成分析和证明过程教学建议 本节课宜采用的教学方法和手段：类比、启发、探索相结合的教学方法，体现学生的主体地位教学流程课标解读1.掌握双曲线的简单几何性质(重点)2能利用双曲线的简单几何性质解题(难点)双曲线的简单几何性质【问题导思】类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线1(a0，b0)的哪些几何性质？【提示】范围、对称性、顶点、离心率、渐近线标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)续表标准方程1(a0，b0)1(a0，
3、b0)性质顶点(a,0)，(a,0)(0，a)，(0，a)轴长实轴长2a，虚轴长2b离心率e且e1渐近线yxyx【问题导思】椭圆中，离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，离心率描述怎样的特征？【提示】双曲线的离心率描述双曲线“开口”的大小，离心率越大，双曲线的“开口”越大.双曲线的相关概念1.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心2实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其离心率e.课堂探究由双曲线的方程研究几何性质例题1求双曲线25y24x21000的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程【思路探究】【自主解答】双曲线的方程25y24x21000可化为1.实半轴长a5，虚半轴
4、长b2，顶点坐标为(5,0)，(5,0)由c，焦点坐标为(，0)，(，0)离心率e，渐近线方程yx.规律方法1已知双曲线的方程求其几何性质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定方程中a、b的对应值，利用c2a2b2得到c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质2写渐近线方程时要特别注意焦点在x轴上还是在y轴上，以免写错变式训练求双曲线16x29y2144的实轴长、虚轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程【解】把方程16x29y2144化为标准方程得1，由此可知，实轴长2a8，虚轴长2b6，c5.焦点坐标为(0，5)，(0,5)离心率e.顶点坐标为(0，4)，(0,4)渐近线
5、方程为：yx.由双曲线的几何性质求 双曲线的方程例题2分别求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)虚轴长为12，离心率为；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为yx；(3)求与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)【思路探究】(1)双曲线的焦点位置确定了吗？如果不确定该怎么办？(2)与双曲线x22y22有公共渐近线的双曲线有什么特点？如何设出方程？【自主解答】(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)由题意知2b12，且c2a2b2，b6，c10，a8，双曲线标准方程为1或1.(2)当焦点在x轴上时，由且a3得b.所求双曲线标准方程为1.当焦点在y轴上时，由且a3得b2.所求双曲线标
6、准方程为1.(3)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点(2，2)代入得k(2)22，双曲线标准方程为1.规律方法1利用待定系数法求双曲线方程应先“定形”(确定标准方程的形式)，再“定量”(求出a，b的值)由于双曲线的标准方程有两种形式，因此，根据相关几何特征确定焦点的位置是很重要的，其次，在解题过程中应熟悉a，b，c，e等元素的几何意义及它们之间的联系，并注意方程思想的应用2若已知双曲线的渐近线方程为AxBy0，为避免讨论，可设双曲线方程为A2x2B2y2(0)或(0)的形式，从而使运算更简捷3与双曲线1(a0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为(0)变式训练已知双曲线的一条渐
7、近线方程是x2y0，且双曲线过点P(4,3)，求双曲线的标准方程【解】法一双曲线的一条渐近线方程为x2y0，当x4时，y2yP3.双曲线的焦点在y轴上从而有，b2a.设双曲线方程为1，由于点P(4,3)在此双曲线上，1，解得a25.双曲线方程为1.法二双曲线的一条渐近线方程为x2y0，即y0，双曲线的渐近线方程为y20.设双曲线方程为y2(0)，双曲线过点P(4,3)，32，即5.所求双曲线方程为y25，即1.求双曲线的离心率例题3分别求适合下列条件的双曲线的离心率(1)双曲线的渐近线方程为yx；(2)双曲线1(0ab)的半焦距为c，直线l过(a,0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离为c
8、.【思路探究】(1)由渐近线方程能得到a、b、c的关系吗？利用这种关系能求出离心率吗？(2)由题意你能得到关于a、b、c的什么关系式？【自主解答】(1)若焦点在x轴上，则，e；若焦点在y轴上，则，即，e.综上可知，双曲线的离心率为或.(2)依题意，直线l：bxayab0.由原点到l的距离为c，得c，即abc2，16a2b23(a2b2)2，即3b410a2b23a40，3()21030.解得或3.又0ab，3.e2.规律方法求双曲线的离心率，通常先由题设条件得到a，b，c的关系式，再根据c2a2b2，直接求a，c的值而在解题时常把或视为整体，把关系式转化为关于或的方程，解方程求之，从而得到离心
9、率的值在本题的(2)中，要注意条件0ab对离心率的限制，以保证题目结果的准确性变式训练已知F1，F2是双曲线1(a0，b0)的两个焦点，PQ是经过F1且垂直于x轴的双曲线的弦，如果PF2Q90，求双曲线的离心率【解】设F1(c,0)，将xc代入双曲线的方程得1，那么y.|PF1|.由双曲线对称性，|PF2|QF2|且PF2Q90.知|F1F2|PQ|PF1|，2c，则b22ac.c22aca20，2210.即e22e10.e1或e1(舍去)所求双曲线的离心率为1.忽略点在双曲线上的位置致误典例已知双曲线方程为x2y21，双曲线的左支上一点P(a，b)到直线yx的距离是，求ab的值【错解】P(a
10、，b)到直线yx的距离是.故，ab2.又a2b21，(ab)(ab)1，ab.【错因分析】错解中忽略了点P在双曲线的左支上，此时，ab0，ab2.【防范措施】由于双曲线有两支，解题时要特别留意所给点是在哪一支上，以防因判断不准导致增根产生【正解】点P(a，b)到直线yx的距离为，故，ab2.又P在双曲线的左支上，故ab0，则有ab2.又a2b21，即(ab)(ab)1，ab.课堂小结1通过双曲线的方程可以讨论双曲线的几何性质，由双曲线的几何性质也可以得到双曲线的方程2双曲线的渐近线和离心率都可以描述其“张口”的大小、渐近线是双曲线特有的性质，应注意以下三点：(1)当焦点在x轴上时，渐近线为yx
11、；当焦点在y轴上时，渐近线为yx.(2)当渐近线为yx时，可设双曲线标准方程为(0)(3)与双曲线1共渐近线的双曲线标准方程可设为(0)1中心在原点，实轴长为10，虚轴长为6的双曲线的标准方程是()A.1B.1或1C.1D.1或1【解析】由题意：a5，b3，且焦点不确定，应选B.【答案】B2双曲线1的渐近线方程是()AyxByxCyx Dyx【解析】由题意，焦点在x轴上，且a2，b3，故渐近线方程为yx.【答案】C3下列曲线中离心率为的是()A.1 B.1C.1 D.1【解析】选项B双曲线中a2，b，c，e.【答案】B4若双曲线的顶点在x轴上，两顶点的距离为8，离心率是，求双曲线的标准方程【解
12、】由题设，设双曲线的标准方程为1(a0，b0)2a8，a4，由e，得c5，b2c2a252429.因此所求双曲线标准方程为1.课后习题一、选择题1等轴双曲线的一个焦点是F1(6,0)，则它的标准方程是()A.1B.1C.1 D.1【解析】设等轴双曲线方程为1(a0)a2a262，a218.故双曲线方程为1.【答案】B2(2012湖南高考)已知双曲线C：1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1【解析】由2c10得c5，点P(2,1)在直线yx上，1，又a2b225，a220，b25，故双曲线的方程为1.【答案】A3(2013泰安高二检测)中心在原
13、点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，2)，则它的离心率为()A. B.C. D.【解析】双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为1(a0，b0)又其一条渐近线过点(4，2)，a2b.因此cb.离心率e.【答案】D4(2013天门高二检测)双曲线1的渐近线与圆(x3)2y2r2(r0)相切，则r()A. B2C3 D6【解析】双曲线的渐近线方程为yx，圆心坐标为(3,0)，由点到直线的距离公式与渐近线与圆相切得，圆心到渐近线的距离为r，且r.【答案】A5(2013临沂高二检测)双曲线1和椭圆1(a0，mb0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是()A锐角三角形 B直角三角形
14、C钝角三角形 D等腰三角形【解析】双曲线的离心率e1，椭圆的离心率e2，由e1e21得(a2b2)(m2b2)a2m2，故a2b2m2，因此三角形为直角三角形【答案】B二、填空题6双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m_.【解析】2a2,2b2， 2，m.【答案】7已知双曲线1的离心率为2，焦点与椭圆1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为_，渐近线方程为_【解析】双曲线的焦点为(4,0)，(4,0)，c4，离心率e2，a2，b2.双曲线方程为1.令0，得渐近线方程为xy0.【答案】(4,0)xy08(2013北京高二检测)已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲
15、线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的取值范围为_【解析】由双曲线的定义有|PF1|PF2|2a，又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.容易知道|PF1|PF2|F1F2|，即a2c，e，又e1，故e(1，【答案】(1，三、解答题9根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与双曲线1有共同渐近线，且过点(3,2)；(2)与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)【解】(1)设所求双曲线方程为(0)，则由题意可知，解得.所求双曲线的标准方程为1.(2)设所求双曲线方程为1(16k0,4k0)，双曲线过点(3，2)，1，解得k4或k14(舍)所求双曲线的标准方程为1.
16、10双曲线1(a1，b0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(1,0)到直线l的距离之和sc，求双曲线离心率的取值范围【解】l的方程为：bxayab0.由点到直线距离公式且a1，得点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2.sd1d2c.即5a2c2，即52e2，4e425e2250，解得e25，e1，e.即e的取值范围为，11若原点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，求的取值范围【解】由双曲线方程y21(a0)知b1.又F(2,0)，c2.a21c24，a23，双曲线方程为
17、y21.设双曲线右支上点P(x，y)，且x.(x，y)(x2，y)x22xy2x22x12.x，当x时，上式有最小值32.故的取值范围为32，). (教师用书独具)备选例题已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，试讨论实数k的取值范围，使直线l与双曲线有两个公共点；直线l与双曲线有且只有一个公共点；直线l与双曲线没有公共点【解】由消去y，得(1k2)x22k2xk240.(*)(1)当1k20，即k1时，直线l与双曲线的渐近线平行，方程化为2x5，故此时方程(*)只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点，交点在双曲线右支上(2)当1k20，即k1时，(2k2)24(1k2)(k
18、24)4(43k2)即k，且k1时，方程(*)有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点即k时，方程(*)有两个相同的实数解，即直线与双曲线相交于一个公共点综上所述：当k，且k1时，直线l与双曲线有两个公共点，当k1或k时，直线l与双曲线有且只有一个公共点，当k或k时，直线l与双曲线没有公共点备选变式已知双曲线3x2y23，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长【解】双曲线3x2y23化为x21，则a1，b，c2.直线l过点F2且倾斜角为45，直线l的方程为yx2，代入双曲线方程，得2x24x70.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，x1x20，A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上x1x22，x1x2，|AB|x1x2|6.因此弦AB的长为6.15
