1、课时作业24空间向量与垂直关系时间：45分钟分值：100分A学习达标一、选择题(每小题6分，共36分)1若向量m同时垂直于向量a和b，向量nab(，R，0)，则()Amn BmnCm与n既不平行也不垂直 D以上三种情况均有可能解析：mnm(ab)mamb0.答案：B2已知平面内的三点A(0,0,1)、B(0,1,0)、C(1,0,0)，平面的一个法向量为n(1，1，1)，且与不重合，则()A BC与相交不垂直 D以上都不对解析：(0,1，1)，(1,0，1)，n10(1)1(1)(1)0，n1110(1)(1)0，n，n.n也为的一个法向量又与不重合，.答案：A3在菱形ABCD中，若是平面AB
2、CD的法向量，则以下等式中可能不成立的是()A.0 B.0C.0 D.0解析：PA平面ABCD，BDPA.又ACBD，PCBD.故选项B正确，选项A和D显然成立故选C.答案：C4已知向量a，b是平面内的两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则ca0且cb0是l的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件解析：若ca0且cb0/ l，原因是a可能与b共线，而l则一定有ca0且cb0成立故选B.答案：B5已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且平面ABC，则等于()A(，4) B(，3)C(，4) D(，3)解析：由0得352z0，z4.又平
3、面ABC，即解得.答案：B6在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A图1解析：建立如图1坐标系，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，E(，1)(，1)(0,1,0)(，1)(1,1,0)，(1，1,0)，(1,0，1)，(0,0，1)(，1)(1，1,0)00.，CEBD.答案：B二、填空题(每小题8分，共24分)7已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若ABAC，则等于_解析：(2，6，2)，(1,6，3
4、)，2362(3)0，14.答案：148已知A，B，C的坐标为(0,1,0)，(1,0,1)，(2,1,1)，点P的坐标(x,0，z)，若PAAB，PAAC，则P点坐标为_解析：利用向量垂直的条件答案：9已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4,2,0)，(1,2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_解析：由2240知APAB；由4400，知APAD，由知是平面ABCD的法向量，易知不平行，所以正确答案：三、解答题(共40分)10(10分)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，求证：D1F平面AD
5、E.图2证明：不妨设已知正方体的棱长为1个单位长度以D为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，E(1,1，)，F(0，0)，所以(0，1)，(1,0,0)，(0,1，)所以0，00.所以且，即D1FAD，D1FAE.又AEADA，所以D1F平面ADE.图311(15分)已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：AM平面BDF.图4证明：以C为坐标原点，建立如图4所示的空间直角坐标系，则A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，F(，1)，M(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0)设n
6、(x，y，z)是平面BDF的法向量，则n，n，所以取y1，得x1，z.则n(1,1，)因为(，1)，所以n，得n与共线所以AM平面BDF.B创新探索图512(15分)如图5所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点(1)证明平面AD1F平面ADE.(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.解：(1)不妨设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立如图6所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F(0，0)，E(1,1，)，(1,0,1)，(1，0)，(1,0,0)，(0,1，)设n1，n2分别
7、为平面AD1F，平面ADE的法向量令n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)，图6n1(1,0,1)(x1，y1，z1)x1z10，n1(1，0)(x1，y1，z1)x1y10，令x11，n1(1,2,1)又n2(1,0,0)(x2，y2，z2)x20，n2(0,1，)(x2，y2，z2)y2z20，令y21，n2(0,1，2)n1n2(1,2,1)(0,1，2)10211(2)0，平面AD1F平面ADE.(2)由于点M在AE上，可设(0,1，)(0，)可得M(1，)，又A1(1,0,1)，于是(0，1)要使A1M平面DAE，需A1MAE，(0，1)(0,1，)0，得.故当AMAE时，即点M的坐标为(1，)时，A1M平面DAE.7
