1、课时规范练30等比数列及其前n项和课时规范练B册第17页基础巩固组1.(2019河南郑州三模,6)等比数列an的前n项和为Sn,若S2n=4(a1+a3+a2n-1)(nN+),a1a2a3=-27,则a5=() A.81B.24C.-81D.-24答案C解析设等比数列an的公比为q,已知S2n=4(a1+a3+a2n-1)(nN+),令n=1,则S2=4a1,可得a2=3a1,q=3.a1a2a3=-27,a23=-27,解得a2=-3,a1=-1,则a5=-34=-81.2.等比数列an中,anan+1=4n-1,则数列an的公比为()A.2或-2B.4C.2D.2答案C解析设等比数列an
2、的公比为q,anan+1=4n-10,an+1an+2=4n且q0,两式相除可得an+1an+2anan+1=4n4n-1=4,即q2=4,q=2,故选C.3.(2019江西临川一中模拟)已知正项等比数列an的前n项和为Sn,且7S2=4S4,则公比q的值为()A.1B.1或12C.32D.32答案C解析因为7S2=4S4,所以3(a1+a2)=4(S4-S2)=4(a3+a4),故q2=34,因为数列an为正项的等比数列,故q0,所以q=32,故选C.4.在公比为正数的等比数列an中,a1+a2=2,a3+a4=8,则S8等于()A.21B.42C.135D.170答案D解析(方法一)S8=
3、(a1+a2)+(a3+a4)+(a5+a6)+(a7+a8)=2+8+32+128=170.(方法二)q2=a3+a4a1+a2=4,又q0,q=2,a1(1+q)=a1(1+2)=2,a1=23,S8=23(28-1)2-1=170.5.(2019河南八市联考二,3)九章算术中有一题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何.其意思是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿五斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”若按此比例偿还,牛、马、羊的主人各应赔偿多少?设牛、
4、马、羊的主人分别应偿还x斗、y斗、z斗,则下列判断正确的是()A.y2=xz且x=57B.y2=xz且x=207C.2y=x+z且x=57D.2y=x+z且x=207答案B解析由题意可知x,y,z依次成公比为12的等比数列,则x+y+z=x+12x+14x=5,解得x=207,由等比数列的性质可得y2=xz.故选B.6.(2019山西晋城二模)设等比数列an的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则S6=()A.63B.62C.61D.60答案A解析由等比数列的性质可知S2,S4-S2,S6-S4成等比数列,即3,12,S6-15成等比数列,所以S6-15=124,解得S6=63.7.(20
5、19湖南六校联考,5)已知公差d0的等差数列an满足a1=1,且a2,a4-2,a6成等比数列,若正整数m,n满足m-n=10,则am-an=()A.30B.20C.10D.5或40答案A解析由题知(a4-2)2=a2a6,因为an为等差数列,所以(3d-1)2=(1+d)(1+5d),因为d0,解得d=3,从而am-an=(m-n)d=30,故选A.8.(2019四川绵阳期中)已知数列an是正项等比数列,且a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,则a5=()A.2B.4C.8D.16答案C解析设正项等比数列an的公比为q,且q0.a1a8=4a5,a4与2a6的等差中项为18,a12
6、q7=4a1q4,a4+2a6=36,即a1(q3+2q5)=36,解得a1=12,q=2,则a5=a1q4=8.故选C.9.(2019北京通州三模)设数列an是等比数列,且a2a4=a5,a4=27,则an的通项公式为.答案an=3n-1(nN+)解析设等比数列an的公比为q,a2a4=a5,a4=27,a5=27a2,q3=27,q=3,a1=a4q3=2727=1,则an=3n-1(nN+).10.等比数列an的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=74,S6=634,则a8=.答案32解析设该等比数列的公比为q,则S6-S3=634-74=14,即a4+a5+a6=14.S3=74
7、,a1+a2+a3=74.由得(a1+a2+a3)q3=14,q3=1474=8,即q=2.a1+2a1+4a1=74,a1=14,a8=a1q7=1427=32.11.(2019山东东营一中模拟)已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN+),若bn=an+1-2an.求证:bn是等比数列.证明因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以bn+1bn=an+2-2an+1an+1-2an=4an+1-4an-2an+1an+1-2an=2an+1-4anan+1-2an=2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以
8、b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.综合提升组12.(2019广东深圳一模)已知等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,则ab=()A.-3B.-1C.1D.3答案A解析等比数列an的前n项和Sn=a3n-1+b,a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a.由等比数列的性质可得,a22=a1a3,(2a)2=(a+b)6a,解得ab=-3.故选A.13.(2019河南开封质检)已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2等于()A.2B.1C.12D.18答案C解析由an为等比
9、数列,得a3a5=a42,又a3a5=4(a4-1),所以a42=4(a4-1),解得a4=2.设等比数列an的公比为q,则由a4=a1q3,得2=14q3,解得q=2,所以a2=a1q=12.故选C.14.(2019陕西宝鸡中学模拟,4)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为):“有一个人要走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地”,那么,此人第4天和第5天共走路程是()A.24里B.36里C.48里D.60里答案B解析记每天走的路程里数为an,可知an是公比q=12的等比数列,由S6=378,得S6=a11-1261-12=37
10、8,解得a1=192,a4+a5=192123+192124=24+12=36.所以此人第4天和第5天共走了24+12=36里,故选B.15.在正项等比数列an中,a4+a3-a2-a1=5,则a5+a6的最小值为.答案20解析设等比数列an的公比为q,则由条件,得(a2+a1)q2-a2-a1=5,a2+a1=5q2-1.据a2+a10知,q2-10,从而a5+a6=(a1+a2)q4=5q4q2-1=5(q2-1)+1q2-1+252(q2-1)1q2-1+2=20,当且仅当q2-1=1q2-1,即q2=2时取等号,故a5+a6的最小值为20.创新应用组16.(2019山东德州二模,16)
11、设数列an的前n项和为Sn,已知a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,记bn=log2a2n-1+log2a2n,则bn=.答案2n-1解析a1=1,a2=2,且an+2=2Sn-Sn+1+3,当n=1时,a3=2-3+3=2,an+2=2Sn-Sn+1+3,n2时,an+1=2Sn-1-Sn+3,两式相减可得,an+2-an+1=2(Sn-Sn-1)-(Sn+1-Sn)(n2),即n2时,an+2-an+1=2an-an+1,即an+2=2an.a3=2a1,数列an的奇数项和偶数项分别成等比数列,公比均为2,a2n=22n-1=2n,a2n-1=12n-1=2n-1,bn=
12、log2a2n-1+log2a2n=n-1+n=2n-1.17.(2019江苏启东中学模拟)已知数列an满足an+1=3an2an+1(nN+),且a1=23.(1)求证:1an-1是等比数列,并求出an的通项公式;(2)求数列1an的前n项和Tn.(1)证明记bn=1an-1,则bn+1bn=1an+1-11an-1=2an+13an-11an-1=2an+1-3an3-3an=1-an3(1-an)=13,又b1=1a1-1=32-1=12,所以1an-1是首项为12,公比为13的等比数列.所以1an-1=1213n-1,即an=23n-11+23n-1.所以数列an的通项公式为an=23n-11+23n-1.(2)解由(1)知,1an-1=1213n-1,即1an=1213n-1+1.所以数列1an的前n项和Tn=121-13n1-13+n=341-13n+n.
