1、北京市东城区2015-2016学年下学期高二期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。参考公式：如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）.如果事件A, B相互独立，那么P（AB）=P（A）P（B）.若，为样本点，为回归方程，则，其中，. ，其中为样本容量。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设复数z满足，则z=A. B. C. D. 2. 下列四个命题中的真命题为A. B. C. D. 3. A. -6 B. -1 C. 0 D. 1 4. 用数学归纳法证明“”的过程中，第二步假设时
2、等式成立，则当时应得到A. B. C. D. 5. “”是“复数为纯虚数”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 函数在处的导数等于A. 0 B. 1 C. e D. 2e 7. 某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种 8.高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计人数后，得到22列联表，则随机变量的观测值为班级与成绩统计表优秀不优秀总计甲班113445乙班83745总计197190A. 0.600 B. 0.828 C. 2.712
3、 D. 6.004 9. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3:1的比分获胜的概率为A. B. C. D. 10. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息。设定原信息为，其中，传输信息为，运算规则为：.例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是A. 11010 B. 01100 C. 10111 D. 00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 二项式展开式中的常数项为_. 1
4、2. 曲线与x轴围成的封闭区域的面积为_. 13. 已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0,1），（1,2），（2,4），（3,5），其回归方程为，则的值是_. 14. 已知离散型随机变量X的分布列如下表：X-1012Pabc若E（X）=0，D（X）=1，则a=_，b=_. 15. 甲公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1件产品，成本增加100元，已知总收益R（单位：元）与年产量x件产品的关系是则年产量为_件时，总利润（利润=收益成本）最大. 16. 已知两个正数a，b，可按规则扩充为一个新数c，在a，b，c三个数中取两个较大的数，按上述规则扩充得到一个
5、新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.（1）若a=1，b=3，按上述规则操作三次，扩充所得的数是_；（2）若pq0，经过6次操作后扩充所得的数为（m，n为正整数），则m，n的值分别为_.三、解答题（本大题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分）用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数。（I）能够组成多少个奇数？（II）能够组成多少个1和3不相邻的正整数？（III）能够组成多少个1不在万位，2不在个位的正整数？ 18. （本小题满分10分）已知命题p：方程有两个不等的正实数根；命题q：方程无实数根.若“p或q”为真命题，“
6、p且q”为假命题，求m的取值范围。 19.（本小题满分10分）某校高一年级开设A，B，C，D，E五门选修课，每位同学须彼此独立地选三门课程，其中甲同学必选A课程，不选B课程，另从其余课程中随机任选两门课程.乙、丙两名同学从五门课程中随机任选三门课程.（I）求甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率；（II）用X表示甲、乙、丙选中C课程的人数之和，求X的分布列和数学期望. 20. （本小题满分11分）已知函数.（I）若，在x=1处取得极值，且曲线在点（0，f（0）处的切线与直线平行，求a的值；（II）若，讨论的单调性. 21.（本小题满分11分）定义在D上的函数，若满足：，都有成立，则称是D上
7、的有界函数，其中M称为函数的上界.（I）设，证明：在上是有界函数，并写出所有上界的值的集合；（II）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围.参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1. B 2. D 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.A 9.B 10.C二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11. 12. 2 13. 0.914. 15. 300 16. 255 8.13三、解答题（共5小题，共52分）17. （本小题满分10分）解：（I）奇数共有个.3分（II）1和3不相邻，共有个。6分（III）1不在万位，2不在个位，共有个.10 18. （本小
8、题满分10分）解：因为命题p：方程有两个不等的正实数根，设方程的两根为，则所以命题p：.3分因为命题q：方程无实数根，所以命题q：.5分若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p真q假，则；7分p假q真，则.9分综上，或。10分 19. （本小题满分10分）解： （I）设事件A为“甲同学选中C课程”，事件B为“乙同学选中C课程”.则.因为事件A与B相互独立，所以甲同学选中C课程且乙同学未选中C课程的概率为.3分（II）设事件C为“丙同学选中C课程”，则.4分X的可能取值为：0,1,2,3.，5分6分7分8分X的分布列为：X0123P 9分 .10分 20.（本小题满分11分）解： （I）函
9、数的定义域为.由题意解得所以.3分（II）若，则.4分（1）令0，由函数定义域可知，所以.当时，单调递增；当a0时，单调递增；7分（2）令，即，当时，不等式无解；当a0时，单调递减；10分综上：当时，在区间为增函数；当a0时，在区间为增函数；在区间为减函数。11分 21. （本小题满分11分）解：（I）证明：因为，所以在上是增函数.所以.即，所以，所以是有界函数。4分所以，上界M满足M1，所有上界M的集合为.5分（II）解：因为函数在上是以3为上界的有界函数，所以在上恒成立.所以，.6分令，则，所以在上恒成立.所以，在上恒成立.令，则在上是减函数，所以；8分令，则在上是增函数，所以.10分所以，实数a的取值范围.11分
